Kako riješiti primjer za pojednostavljenje izraza. Pretvaranje izraza

Alfa označava pravi broj. Znak jednakosti u gornjim izrazima pokazuje da ako dodate broj ili beskonačnost beskonačnosti, ništa se neće promijeniti, rezultat će biti ista beskonačnost. Ako za primjer uzmemo beskonačan skup prirodnih brojeva, onda se razmatrani primjeri mogu predstaviti u sljedećem obliku:

Kako bi jasno dokazali da su bili u pravu, matematičari su smislili mnogo različitih metoda. Lično, na sve ove metode gledam kao na šamane koji plešu uz tamburaše. U suštini, svi se svode na to da su ili neke sobe prazne i da se useljavaju novi gosti, ili da se neki od posjetitelja izbace u hodnik kako bi napravili mjesta za goste (vrlo ljudski). Svoje viđenje takvih odluka iznio sam u formi fantastične priče o Plavuši. Na čemu se zasniva moje rezonovanje? Premještanje beskonačnog broja posjetitelja traje beskonačno vrijeme. Nakon što oslobodimo prvu sobu za gosta, jedan od posetilaca će uvek hodati hodnikom od svoje sobe do sledeće do kraja vremena. Naravno, faktor vremena se može glupo zanemariti, ali ovo će biti u kategoriji „nijedan zakon nije pisan za budale“. Sve zavisi od toga šta radimo: prilagođavamo stvarnost matematičkim teorijama ili obrnuto.

Šta je "beskonačan hotel"? Beskonačan hotel je hotel koji uvijek ima bilo koji broj praznih kreveta, bez obzira na to koliko je soba zauzeto. Ako su sve sobe u beskonačnom hodniku za "posetioce" zauzete, postoji još jedan beskonačni hodnik sa "gostinjskim" sobama. Postojaće beskonačan broj takvih koridora. Štaviše, „beskonačni hotel“ ima beskonačan broj spratova u beskonačnom broju zgrada na beskonačnom broju planeta u beskonačnom broju univerzuma koje je stvorio beskonačan broj bogova. Matematičari nisu u stanju da se distanciraju od banalnih svakodnevnih problema: uvijek postoji samo jedan Bog-Allah-Buda, postoji samo jedan hotel, postoji samo jedan hodnik. Dakle, matematičari pokušavaju da žongliraju serijskim brojevima hotelskih soba, uvjeravajući nas da je moguće “ugurati nemoguće”.

Pokazat ću vam logiku svog razmišljanja na primjeru beskonačnog skupa prirodnih brojeva. Prvo morate odgovoriti na vrlo jednostavno pitanje: koliko skupova prirodnih brojeva postoji - jedan ili više? Ne postoji tačan odgovor na ovo pitanje, jer smo sami izmislili brojeve; brojevi ne postoje u prirodi. Da, priroda je odlična u brojanju, ali za to koristi druge matematičke alate koji nam nisu poznati. Reći ću vam šta priroda misli drugi put. Pošto smo izmislili brojeve, sami ćemo odlučiti koliko skupova prirodnih brojeva ima. Razmotrimo obje opcije, kako i priliči pravim naučnicima.

Opcija jedan. “Neka nam se da” jedan jedini set prirodnih brojeva, koji mirno leži na polici. Uzimamo ovaj set sa police. To je to, nema drugih prirodnih brojeva na polici i nigdje ih uzeti. Ne možemo ga dodati ovom skupu, jer ga već imamo. Šta ako zaista želiš? Nema problema. Možemo uzeti jedan iz seta koji smo već uzeli i vratiti na policu. Nakon toga možemo uzeti jednu s police i dodati je onome što nam je ostalo. Kao rezultat, opet ćemo dobiti beskonačan skup prirodnih brojeva. Sve naše manipulacije možete zapisati ovako:

Zapisao sam radnje u algebarskoj notaciji i u teoriji skupova, sa detaljnim popisom elemenata skupa. Indeks označava da imamo jedan jedini skup prirodnih brojeva. Ispada da će skup prirodnih brojeva ostati nepromijenjen samo ako se od njega oduzme jedan i doda ista jedinica.

Opcija dva. Na našoj polici imamo mnogo različitih beskonačnih skupova prirodnih brojeva. Naglašavam - RAZLIČITIH, uprkos tome što se praktično ne razlikuju. Uzmimo jedan od ovih setova. Zatim uzimamo jedan iz drugog skupa prirodnih brojeva i dodajemo ga skupu koji smo već uzeli. Možemo čak dodati dva skupa prirodnih brojeva. Evo šta dobijamo:

Podskripti "jedan" i "dva" označavaju da su ovi elementi pripadali različitim skupovima. Da, ako dodate jedan beskonačnom skupu, rezultat će također biti beskonačan skup, ali neće biti isti kao originalni skup. Ako jednom beskonačnom skupu dodate još jedan beskonačan skup, rezultat je novi beskonačan skup koji se sastoji od elemenata prva dva skupa.

Skup prirodnih brojeva koristi se za brojanje na isti način kao što se ravnalo za mjerenje. Sada zamislite da ste lenjiru dodali jedan centimetar. Ovo će biti drugačija linija, koja neće biti jednaka originalnoj.

Možete prihvatiti ili ne prihvatiti moje obrazloženje - to je vaša stvar. Ali ako ikada naiđete na matematičke probleme, razmislite da li slijedite put lažnog rasuđivanja kojim su kročile generacije matematičara. Uostalom, proučavanje matematike, prije svega, u nama formira stabilan stereotip mišljenja, a tek onda doprinosi našim mentalnim sposobnostima (ili nas, obrnuto, lišava slobodnog razmišljanja).

Nedjelja, 04.08.2019

Završavao sam postskriptum za članak o i vidio ovaj divan tekst na Wikipediji:

Čitamo: "...bogata teorijska osnova matematike Babilona nije imala holistički karakter i bila je svedena na skup različitih tehnika, lišenih zajedničkog sistema i baze dokaza."

Vau! Koliko smo pametni i koliko dobro vidimo nedostatke drugih. Da li nam je teško da savremenu matematiku posmatramo u istom kontekstu? Malo parafrazirajući gornji tekst, lično sam dobio sljedeće:

Bogata teorijska osnova moderne matematike nije holističke prirode i svedena je na skup različitih sekcija, lišenih zajedničkog sistema i baze dokaza.

Neću ići daleko da potvrdim svoje riječi - ima jezik i konvencije koji se razlikuju od jezika i konvencija mnogih drugih grana matematike. Isti nazivi u različitim granama matematike mogu imati različita značenja. Želim da posvetim čitav niz publikacija najočitijim greškama moderne matematike. Vidimo se uskoro.

Subota 03.08.2019

Kako podijeliti skup na podskupove? Da biste to učinili, potrebno je unijeti novu mjernu jedinicu koja je prisutna u nekom od elemenata odabranog skupa. Pogledajmo primjer.

Neka nam bude dosta A koji se sastoji od četiri osobe. Ovaj skup je formiran na osnovu "ljudi". Označimo elemente ovog skupa slovom A, indeks sa brojem će označavati serijski broj svake osobe u ovom skupu. Hajde da uvedemo novu mjernu jedinicu "pol" i označimo je slovom b. Pošto su seksualne karakteristike svojstvene svim ljudima, svaki element skupa umnožavamo A na osnovu spola b. Primijetite da je naš skup “ljudi” sada postao skup “ljudi s rodnim karakteristikama”. Nakon toga možemo podijeliti spolne karakteristike na muške bm i ženske bw seksualne karakteristike. Sada možemo primijeniti matematički filter: biramo jednu od ovih seksualnih karakteristika, bez obzira koju – mušku ili žensku. Ako ga osoba ima, onda ga množimo sa jedan, ako nema takvog znaka, množimo ga sa nulom. A onda koristimo redovnu školsku matematiku. Vidi šta se desilo.

Nakon množenja, redukcije i preuređivanja, na kraju smo dobili dva podskupa: podskup ljudi Bm i podskup žena Bw. Matematičari razmišljaju na približno isti način kada primjenjuju teoriju skupova u praksi. Ali oni nam ne govore detalje, već nam daju gotov rezultat - "mnogo ljudi se sastoji od podskupine muškaraca i podskupa žena." Naravno, možda imate pitanje: koliko je pravilno matematika primijenjena u gore navedenim transformacijama? Usuđujem se da vas uvjerim da su, u suštini, transformacije obavljene ispravno, dovoljno je poznavati matematičke osnove aritmetike, Bulove algebre i drugih grana matematike. Šta je to? Neki drugi put ću vam pričati o ovome.

Što se tiče superskupova, možete kombinovati dva skupa u jedan superskup odabirom mjerne jedinice prisutne u elementima ova dva skupa.

Kao što vidite, mjerne jedinice i obična matematika čine teoriju skupova reliktom prošlosti. Znak da nije sve u redu sa teorijom skupova je to što su matematičari smislili svoj jezik i notaciju za teoriju skupova. Matematičari su se ponašali kao nekada šamani. Samo šamani znaju kako "ispravno" primijeniti svoje "znanje". Oni nas uče ovom "znanju".

U zaključku, želim da vam pokažem kako matematičari manipulišu.

Ponedjeljak, 07.01.2019

U petom veku pre nove ere, starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulisao je svoje čuvene aporije, od kojih je najpoznatija aporija „Ahilej i kornjača“. Evo kako to zvuči:

Recimo, Ahil trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči ovu udaljenost, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača puzi još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti do beskonačnosti, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.

Ovo razmišljanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Svi su oni na ovaj ili onaj način smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju do danas; naučna zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi uključeni su u proučavanje problematike ; nijedan od njih nije postao opšteprihvaćeno rešenje problema..."[Vikipedija, "Zenonova aporija". Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu se sastoji obmana.

Sa matematičke tačke gledišta, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa kvantiteta na . Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto stalnih. Koliko sam shvatio, matematički aparat za korištenje promjenjivih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, zbog inercije mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročnu vrijednost. Sa fizičke tačke gledišta, ovo izgleda kao da se vrijeme usporava dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahil sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može pobjeći od kornjače.

Ako okrenemo svoju uobičajenu logiku, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči konstantnom brzinom. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept „beskonačnosti“, tada bi bilo ispravno reći „Ahilej će beskonačno brzo sustići kornjaču“.

Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne jedinice. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Tokom sledećeg vremenskog intervala jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahil osam stotina koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Ajnštajnova izjava o neodoljivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji „Ahilej i kornjača“. Ostaje nam da proučimo, preispitamo i riješimo ovaj problem. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.

U ovoj aporiji logički paradoks je prevaziđen vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje u različitim tačkama u prostoru, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Da biste utvrdili da li se automobil kreće, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali ne možete odrediti udaljenost od njih. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih tačaka u prostoru u jednom trenutku, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, trigonometrija će vam pomoći ). Ono na šta želim da skrenem posebnu pažnju je da su dve tačke u vremenu i dve tačke u prostoru različite stvari koje ne treba mešati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

Srijeda, 04.07.2018

Već sam vam rekao da uz pomoć toga šamani pokušavaju da razvrstaju ““ stvarnost. Kako to rade? Kako zapravo dolazi do formiranja skupa?

Pogledajmo pobliže definiciju skupa: "kolekcija različitih elemenata, zamišljenih kao jedinstvena cjelina." Sada osjetite razliku između dvije fraze: “zamislivo kao cjelina” i “zamislivo kao cjelina”. Prva fraza je krajnji rezultat, skup. Druga fraza je preliminarna priprema za formiranje mnoštva. U ovoj fazi stvarnost je podijeljena na pojedinačne elemente („cjelina“), iz kojih će se potom formirati mnoštvo („jedinstvena cjelina“). Istovremeno, pažljivo se prati faktor koji omogućava spajanje "cjeline" u "jedinstvenu cjelinu", inače šamani neće uspjeti. Uostalom, šamani unaprijed znaju koji set žele da nam pokažu.

Pokazat ću vam proces na primjeru. Odabiremo "crvenu čvrstu boju u bubuljici" - ovo je naša "cjelina". Istovremeno, vidimo da su ove stvari sa lukom, a postoje i bez luka. Nakon toga odabiremo dio "cjeline" i formiramo set "sa mašnom". Ovako šamani dobijaju hranu vezujući svoju teoriju skupova za stvarnost.

Hajde sada da napravimo mali trik. Uzmimo "čvrsto sa bubuljicom sa mašnom" i kombinujmo ove "cjeline" prema boji, birajući crvene elemente. Imamo dosta "crvenih". Sada poslednje pitanje: da li su dobijeni setovi “sa lukom” i “crvenim” isti set ili dva različita seta? Samo šamani znaju odgovor. Tačnije, oni sami ništa ne znaju, ali kako kažu, tako će i biti.

Ovaj jednostavan primjer pokazuje da je teorija skupova potpuno beskorisna kada je stvarnost u pitanju. u čemu je tajna? Formirali smo set "crvene čvrste s bubuljicom i mašnom." Formiranje se odvijalo u četiri različite mjerne jedinice: boja (crvena), čvrstoća (puna), hrapavost (bubuljičasta), ukras (sa mašnom). Samo skup mjernih jedinica nam omogućava da adekvatno opišemo stvarne objekte jezikom matematike. Ovako to izgleda.

Slovo "a" sa različitim indeksima označava različite mjerne jedinice. U zagradama su istaknute mjerne jedinice po kojima se "cjelina" razlikuje u preliminarnoj fazi. Jedinica mjere po kojoj se skup formira vadi se iz zagrada. Posljednji red prikazuje konačni rezultat - element skupa. Kao što vidite, ako koristimo mjerne jedinice za formiranje skupa, onda rezultat ne ovisi o redoslijedu naših akcija. A ovo je matematika, a ne ples šamana s tamburama. Šamani mogu "intuitivno" doći do istog rezultata, tvrdeći da je to "očigledno", jer jedinice mjere nisu dio njihovog "naučnog" arsenala.

Koristeći mjerne jedinice, vrlo je lako podijeliti jedan set ili kombinirati nekoliko setova u jedan superset. Pogledajmo pobliže algebru ovog procesa.

Subota 30.06.2018

Ako matematičari ne mogu svesti koncept na druge koncepte, onda ne razumiju ništa o matematici. Odgovaram: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Odgovor je vrlo jednostavan: brojevi i mjerne jedinice.

Danas sve što ne uzimamo pripada nekom skupu (kako nas matematičari uveravaju). Inače, da li ste u ogledalu na čelu videli spisak onih kompleta kojima pripadate? A takvu listu nisam vidio. Reći ću više – ni jedna stvar u stvarnosti nema oznaku sa spiskom skupova kojima ova stvar pripada. Kompleti su svi izumi šamana. Kako to rade? Zavirimo malo dublje u istoriju i vidimo kako su izgledali elementi skupa prije nego što su ih matematičari šamani uzeli u svoje setove.

Davno, kada niko nikada nije čuo za matematiku, a samo su drveće i Saturn imali prstenove, ogromna krda divljih elemenata skupova lutala su fizičkim poljima (na kraju krajeva, šamani još nisu izmislili matematička polja). Izgledali su otprilike ovako.

Da, nemojte se iznenaditi, s gledišta matematike, svi elementi skupova su najsličniji morskim ježevima - iz jedne točke, poput iglica, mjerne jedinice vire u svim smjerovima. Za one koji podsjećam da se svaka mjerna jedinica može geometrijski predstaviti kao segment proizvoljne dužine, a broj kao tačka. Geometrijski, bilo koja veličina se može predstaviti kao gomila segmenata koji strše u različitim smjerovima iz jedne tačke. Ova tačka je nula. Neću crtati ovo geometrijsko djelo (bez inspiracije), ali možete ga lako zamisliti.

Koje mjerne jedinice čine element skupa? Sve vrste stvari koje opisuju dati element sa različitih tačaka gledišta. To su drevne mjerne jedinice koje su koristili naši preci i na koje su svi odavno zaboravili. Ovo su moderne mjerne jedinice koje sada koristimo. To su i nama nepoznate mjerne jedinice do kojih će naši potomci doći i kojima će opisati stvarnost.

Sredili smo geometriju - predloženi model elemenata skupa ima jasnu geometrijsku reprezentaciju. Šta je sa fizikom? Mjerne jedinice su direktna veza između matematike i fizike. Ako šamani ne prepoznaju mjerne jedinice kao punopravni element matematičkih teorija, to je njihov problem. Ja lično ne mogu zamisliti pravu matematičku nauku bez mjernih jedinica. Zato sam na samom početku priče o teoriji skupova govorio da je ona u kamenom dobu.

No, prijeđimo na najzanimljiviju stvar - algebru elemenata skupova. Algebarski, svaki element skupa je proizvod (rezultat množenja) različitih veličina.To izgleda ovako.

Namjerno nisam koristio konvencije teorije skupova, budući da razmatramo element skupa u njegovom prirodnom okruženju prije nastanka teorije skupova. Svaki par slova u zagradama označava zasebnu količinu, koja se sastoji od broja označenog slovom " n" i mjernu jedinicu označenu slovom " a". Indeksi pored slova pokazuju da su brojevi i mjerne jedinice različite. Jedan element skupa može se sastojati od beskonačnog broja veličina (koliko mi i naši potomci imamo dovoljno mašte). Svaka zagrada je geometrijski prikazana kao poseban segment.U primjeru sa ježem jedna zagrada je jedna igla.

Kako šamani formiraju setove od različitih elemenata? Zapravo, mjernim jedinicama ili brojevima. Ne razumijevajući ništa o matematici, uzimaju različite morske ježeve i pažljivo ih pregledavaju u potrazi za tom jedinom iglom, duž koje se formiraju skup. Ako postoji takva igla, onda ovaj element pripada skupu; ako takve igle nema, onda ovaj element nije iz ovog skupa. Šamani nam pričaju bajke o misaonim procesima i cjelini.

Kao što ste možda pretpostavili, isti element može pripadati vrlo različitim skupovima. Zatim ću vam pokazati kako se formiraju skupovi, podskupovi i druge šamanske gluposti. Kao što vidite, "ne mogu postojati dva identična elementa u skupu", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "multiset". Razumna bića nikada neće razumjeti takvu apsurdnu logiku. Ovo je nivo govornih papagaja i dresiranih majmuna, koji nemaju inteligenciju od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

Nekada su inženjeri koji su gradili most bili u čamcu ispod mosta dok su testirali most. Ako se most sruši, osrednji inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer je izgradio druge mostove.

Bez obzira na to koliko se matematičari kriju iza fraze „pamet, ja sam u kući“, odnosno „matematika proučava apstraktne pojmove“, postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.

Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo na kasi i izdajemo plate. Dakle, matematičar dolazi kod nas po svoj novac. Odbrojavamo mu cijeli iznos i slažemo ga na našem stolu u različite hrpe, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim uzimamo po jedan račun sa svake gomile i dajemo matematičaru njegov „matematički skup plaće“. Objasnimo matematičaru da će preostale račune dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu sa identičnim elementima. Ovdje zabava počinje.

Prije svega, funkcionirat će logika poslanika: „Ovo se može primijeniti na druge, ali ne i na mene!“ Tada će nas početi uvjeravati da novčanice istog apoena imaju različite brojeve novčanica, što znači da se ne mogu smatrati istim elementima. Dobro, računajmo plate u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će matematičar početi mahnito da se prisjeća fizike: različiti novčići imaju različite količine prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma je jedinstven za svaki novčić...

I sada imam najzanimljivije pitanje: gdje je linija iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji - o svemu odlučuju šamani, nauka ovdje nije ni blizu da leži.

Pogledati ovdje. Odabiremo fudbalske stadione sa istom površinom terena. Površine polja su iste - što znači da imamo višestruki skup. Ali ako pogledamo imena tih istih stadiona, dobijamo mnogo, jer su imena različita. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i multiskup. Šta je tačno? I ovdje matematičar-šaman-oštrica izvlači keca aduta iz rukava i počinje nam pričati ili o setu ili o multisetu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.

Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju teorijom skupova, vezujući je za stvarnost, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazaću vam, bez ikakvog "zamislivog kao nijedna celina" ili "nezamislivog kao jedinstvene celine".

Koristeći bilo koji jezik, možete izraziti istu informaciju različitim riječima i frazama. Matematički jezik nije izuzetak. Ali isti izraz se može ekvivalentno napisati na različite načine. A u nekim situacijama, jedan od unosa je jednostavniji. U ovoj lekciji ćemo govoriti o pojednostavljenju izraza.

Ljudi komuniciraju na različitim jezicima. Za nas je važno poređenje par „ruski jezik – matematički jezik“. Iste informacije mogu se prenijeti na različitim jezicima. Ali, osim toga, može se izgovoriti na različite načine na jednom jeziku.

Na primjer: „Petya je prijatelj sa Vasjom“, „Vasya je prijatelj sa Petyom“, „Petya i Vasya su prijatelji“. Rečeno drugačije, ali ista stvar. Iz bilo koje od ovih fraza shvatili bismo o čemu govorimo.

Pogledajmo ovu frazu: "Dječak Petya i dječak Vasya su prijatelji." Razumijemo o čemu pričamo. Međutim, ne sviđa nam se zvuk ove fraze. Zar ne možemo to pojednostaviti, reći istu stvar, ali jednostavnije? "Dječak i dječak" - možete jednom reći: "Dječaci Petya i Vasya su prijatelji."

“Momci”... Zar se iz njihovih imena ne vidi da nisu djevojčice? Uklanjamo "dječake": "Petya i Vasya su prijatelji." A riječ "prijatelji" može se zamijeniti sa "prijatelji": "Petya i Vasya su prijatelji." Kao rezultat toga, prva, duga, ružna fraza zamijenjena je ekvivalentnom izjavom koju je lakše izgovoriti i lakše razumjeti. Mi smo pojednostavili ovu frazu. Pojednostaviti znači reći jednostavnije, ali ne izgubiti ili iskriviti značenje.

Matematičkim jezikom se dešava otprilike ista stvar. Jedna te ista stvar se može reći, drugačije napisana. Šta znači pojednostaviti izraz? To znači da za izvorni izraz postoji mnogo ekvivalentnih izraza, odnosno onih koji znače istu stvar. I iz sve te raznolikosti moramo izabrati najjednostavniji, po našem mišljenju, ili najprikladniji za naše daljnje svrhe.

Na primjer, razmotrite numerički izraz . To će biti ekvivalentno .

Također će biti ekvivalentna prva dva: .

Ispostavilo se da smo pojednostavili naše izraze i pronašli najkraći ekvivalentni izraz.

Za numeričke izraze, uvijek morate učiniti sve i dobiti ekvivalentni izraz kao jedan broj.

Pogledajmo primjer doslovnog izraza . Očigledno će biti jednostavnije.

Prilikom pojednostavljivanja literalnih izraza potrebno je izvršiti sve moguće radnje.

Da li je uvijek potrebno pojednostaviti izraz? Ne, ponekad će nam biti zgodnije da imamo ekvivalentan, ali duži unos.

Primjer: trebate oduzeti broj od broja.

Moguće je izračunati, ali ako bi prvi broj bio predstavljen njegovom ekvivalentnom notacijom: , tada bi proračuni bili trenutni: .

Odnosno, pojednostavljeni izraz nije uvijek koristan za nas za dalje proračune.

Ipak, vrlo često se suočavamo sa zadatkom koji samo zvuči kao „pojednostavite izraz“.

Pojednostavite izraz: .

Rješenje

1) Izvršite radnje u prvoj i drugoj zagradi: .

2) Izračunajmo proizvode: .

Očigledno, posljednji izraz ima jednostavniji oblik od početnog. Mi smo to pojednostavili.

Da bi se izraz pojednostavio, mora se zamijeniti ekvivalentom (jednako).

Za određivanje ekvivalentnog izraza potrebno vam je:

1) izvršiti sve moguće radnje,

2) koristiti svojstva sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja da pojednostavite proračune.

Svojstva sabiranja i oduzimanja:

1. Komutativno svojstvo sabiranja: preuređivanje članova ne mijenja zbir.

2. Kombinativno svojstvo sabiranja: da biste zbroju dva broja dodali treći broj, prvom broju možete dodati zbir drugog i trećeg broja.

3. Svojstvo oduzimanja zbira od broja: da biste oduzeli zbir od broja, možete oduzeti svaki član posebno.

Svojstva množenja i dijeljenja

1. Komutativno svojstvo množenja: preraspoređivanje faktora ne mijenja proizvod.

2. Kombinativno svojstvo: da biste pomnožili broj sa umnoškom dva broja, prvo ga možete pomnožiti prvim faktorom, a zatim pomnožiti rezultirajući proizvod drugim faktorom.

3. Distributivno svojstvo množenja: da biste pomnožili broj sa zbirom, morate ga pomnožiti sa svakim članom posebno.

Hajde da vidimo kako zapravo radimo mentalne proračune.

Izračunati:

Rješenje

1) Zamislimo kako

2) Zamislimo prvi faktor kao zbir bitnih pojmova i izvršimo množenje:

3) možete zamisliti kako i izvršiti množenje:

4) Zamijenite prvi faktor s ekvivalentnom sumom:

Zakon raspodjele se može koristiti i u suprotnom smjeru: .

Slijedite ove korake:

1) 2)

Rješenje

1) Radi praktičnosti, možete koristiti distributivni zakon, samo ga koristite u suprotnom smjeru - izvadite zajednički faktor iz zagrada.

2) Izvadimo zajednički faktor iz zagrada

Potrebno je kupiti linoleum za kuhinju i hodnik. Kuhinjski prostor - , hodnik - . Postoje tri vrste linoleuma: za i rublje za. Koliko će koštati svaka od tri vrste linoleuma? (sl. 1)

Rice. 1. Ilustracija za iskaz problema

Rješenje

Metoda 1. Možete zasebno saznati koliko će novca biti potrebno za kupnju linoleuma za kuhinju, a zatim ga stavite u hodnik i zbrojite rezultirajuće proizvode.

Pojednostavljivanje algebarskih izraza jedan je od ključeva učenja algebre i izuzetno je korisna vještina za sve matematičare. Pojednostavljenje vam omogućava da svedete složeni ili dugi izraz na jednostavan izraz s kojim je lako raditi. Osnovne vještine pojednostavljivanja dobre su čak i za one koji nisu entuzijasti u matematici. Prateći nekoliko jednostavnih pravila, možete pojednostaviti mnoge od najčešćih tipova algebarskih izraza bez ikakvog posebnog matematičkog znanja.

Koraci

Važne definicije

1. Slični članovi . To su članovi sa varijablom istog reda, članovi sa istim varijablama ili slobodni članovi (članovi koji ne sadrže varijablu). Drugim riječima, slični pojmovi uključuju istu varijablu u istom stepenu, uključuju nekoliko istih varijabli ili uopće ne uključuju varijablu. Redosled pojmova u izrazu nije bitan.

   • Na primjer, 3x 2 i 4x 2 su slični termini jer sadrže varijablu drugog reda (na drugi stepen) "x". Međutim, x i x2 nisu slični pojmovi, jer sadrže varijablu “x” različitog reda (prvi i drugi). Isto tako, -3yx i 5xz nisu slični pojmovi jer sadrže različite varijable.

2. Faktorizacija . Ovo je pronalaženje brojeva čiji proizvod vodi do originalnog broja. Svaki originalni broj može imati nekoliko faktora. Na primjer, broj 12 se može razložiti u sljedeći niz faktora: 1 × 12, 2 × 6 i 3 × 4, tako da možemo reći da su brojevi 1, 2, 3, 4, 6 i 12 faktori broj 12. Faktori su isti kao faktori , odnosno brojevi kojima se dijeli originalni broj.

   • Na primjer, ako želite da faktorirate broj 20, napišite ga ovako: 4×5.
   • Imajte na umu da se prilikom faktoringa varijabla uzima u obzir. Na primjer, 20x = 4(5x).
   • Prosti brojevi se ne mogu rastaviti na faktore jer su djeljivi samo sa sobom i 1.

3. Zapamtite i slijedite redoslijed operacija kako biste izbjegli greške.

   • Zagrade
   • Stepen
   • Množenje
   • Division
   • Dodatak
   • Oduzimanje

Dovođenje sličnih članova

1. Zapišite izraz. Jednostavni algebarski izrazi (oni koji ne sadrže razlomke, korijene, itd.) mogu se riješiti (pojednostaviti) u samo nekoliko koraka.

   • Na primjer, pojednostavite izraz 1 + 2x - 3 + 4x.

2. Definirajte slične pojmove (termine sa varijablom istog reda, termine sa istim varijablama ili slobodne termine).

   • Pronađite slične pojmove u ovom izrazu. Termini 2x i 4x sadrže varijablu istog reda (prva). Takođe, 1 i -3 su slobodni termini (ne sadrže varijablu). Dakle, u ovom izrazu termini 2x i 4x slični su i članovi 1 i -3 takođe su slični.

3. Dajte slične članove. To znači njihovo dodavanje ili oduzimanje i pojednostavljivanje izraza.

   • 2x + 4x = 6x
   • 1 - 3 = -2

4. Prepišite izraz uzimajući u obzir date pojmove. Dobićete jednostavan izraz sa manje pojmova. Novi izraz je jednak originalnom.

   • U našem primjeru: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, odnosno originalni izraz je pojednostavljen i lakši za rad.

5. Pridržavajte se redoslijeda radnji prilikom dovođenja sličnih članova. U našem primjeru bilo je lako dati slične pojmove. Međutim, u slučaju složenih izraza u kojima su pojmovi zatvoreni u zagrade, a prisutni su razlomci i korijeni, nije tako lako donijeti takve pojmove. U tim slučajevima slijedite redoslijed operacija.

   • Na primjer, razmotrite izraz 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Ovdje bi bilo pogrešno odmah definirati 3x i 2x kao slične pojmove i prikazati ih, jer je potrebno prvo otvoriti zagrade. Stoga izvršite operacije prema njihovom redoslijedu.
     • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
     • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
     • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Sad, kada izraz sadrži samo operacije sabiranja i oduzimanja, možete donijeti slične pojmove.
     • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
     • x 2 + 12x + 3

Izuzimanje množitelja iz zagrada

1. Nađi najveći zajednički djelitelj(GCD) svih koeficijenata izraza. GCD je najveći broj kojim se dijele svi koeficijenti izraza.

   • Na primjer, razmotrite jednačinu 9x 2 + 27x - 3. U ovom slučaju, GCD = 3, budući da je bilo koji koeficijent ovog izraza djeljiv sa 3.

2. Podijelite svaki član izraza sa gcd. Rezultirajući termini će sadržavati manje koeficijente nego u originalnom izrazu.

   • U našem primjeru, podijelite svaki pojam u izrazu sa 3.
     • 9x 2 /3 = 3x 2
     • 27x/3 = 9x
     • -3/3 = -1
     • Rezultat je bio izraz 3x 2 + 9x - 1. Nije jednak originalnom izrazu.

3. Zapišite originalni izraz kao jednak proizvodu gcd i rezultirajućeg izraza. To jest, stavite rezultujući izraz u zagrade, a gcd izvadite iz zagrada.

   • U našem primjeru: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

4. Pojednostavljivanje frakcijskih izraza stavljanjem faktora iz zagrada. Zašto jednostavno staviti množitelj iz zagrada, kao što je učinjeno ranije? Zatim, da naučite kako da pojednostavite složene izraze, kao što su frakcioni izrazi. U ovom slučaju, stavljanje faktora iz zagrada može pomoći da se riješite razlomka (od nazivnika).

   • Na primjer, razmotrite frakcijski izraz (9x 2 + 27x - 3)/3. Koristite faktoring da pojednostavite ovaj izraz.
     • Stavite faktor 3 iz zagrada (kao što ste ranije radili): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
     • Primijetite da sada i u brojniku i u nazivniku postoji 3. Ovo se može smanjiti da dobijete izraz: (3x 2 + 9x – 1)/1
     • Budući da je svaki razlomak koji ima broj 1 u nazivniku jednostavno jednak brojiocu, originalni izraz razlomka se pojednostavljuje na: 3x 2 + 9x - 1.

Dodatne metode pojednostavljenja

1. Pojednostavljivanje frakcijskih izraza. Kao što je gore navedeno, ako i brojnik i nazivnik sadrže iste članove (ili čak iste izraze), onda se mogu smanjiti. Da biste to učinili, morate iz zagrada izvaditi zajednički faktor brojnika ili nazivnika, ili i brojnik i imenilac. Ili možete podijeliti svaki član u brojniku sa nazivnikom i tako pojednostaviti izraz.

   • Na primjer, razmotrite frakcijski izraz (5x 2 + 10x + 20)/10. Ovdje jednostavno podijelite svaki član brojioca sa nazivnikom (10). Ali imajte na umu da pojam 5x 2 nije jednako djeljiv sa 10 (pošto je 5 manje od 10).
     • Dakle, napišite pojednostavljeni izraz ovako: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.

2. Pojednostavljenje radikalnih izraza. Izrazi pod znakom korijena nazivaju se radikalni izrazi. Oni se mogu pojednostaviti kroz njihovu dekompoziciju na odgovarajuće faktore i naknadno uklanjanje jednog faktora ispod korena.

   • Pogledajmo jednostavan primjer: √(90). Broj 90 se može rastaviti na sljedeće faktore: 9 i 10, a od 9 možemo uzeti kvadratni korijen (3) i izvaditi 3 ispod korijena.
     • √(90)
     • √(9×10)
     • √(9)×√(10)
     • 3×√(10)
     • 3√(10)

3. Pojednostavljivanje izraza sa potencijama. Neki izrazi sadrže operacije množenja ili dijeljenja pojmova sa potencijama. U slučaju množenja članova sa istom osnovom, njihove moći se sabiraju; u slučaju dijeljenja članova sa istom osnovom, njihove snage se oduzimaju.

   • Na primjer, razmotrite izraz 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). U slučaju množenja zbrojite stepene, a u slučaju dijeljenja ih oduzmite.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x 7 + x 2
   • Slijedi objašnjenje pravila za množenje i dijeljenje pojmova sa potencijama.
     • Množenje pojmova sa potencijama je ekvivalentno množenju pojmova sami po sebi. Na primjer, pošto je x 3 = x × x × x i x 5 = x × x × x × x × x, tada je x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), ili x 8 .
     • Slično tome, dijeljenje pojmova sa stepenima je ekvivalentno dijeljenju pojmova sami po sebi. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Budući da se slični članovi koji se nalaze i u brojniku i u nazivniku mogu smanjiti, proizvod dva “x” ili x 2 ostaje u brojniku.

Često zadaci zahtijevaju pojednostavljen odgovor. Iako su i pojednostavljeni i nepojednostavljeni odgovori tačni, vaš instruktor može sniziti ocjenu ako ne pojednostavite svoj odgovor. Štaviše, pojednostavljeni matematički izraz je mnogo lakši za rad. Stoga je veoma važno naučiti pojednostaviti izraze.

Koraci

Ispravan redoslijed matematičkih operacija

1. Zapamtite ispravan redoslijed izvođenja matematičkih operacija. Prilikom pojednostavljivanja matematičkog izraza, mora se poštovati određeni redosled operacija, jer neke matematičke operacije imaju prednost nad drugima i moraju se obaviti prve (u stvari, nepoštivanje ispravnog redosleda operacija će vas dovesti do pogrešnog rezultata). Zapamtite sljedeći redoslijed matematičkih operacija: izraz u zagradi, stepenovanje, množenje, dijeljenje, sabiranje, oduzimanje.

   • Imajte na umu da će vam poznavanje ispravnog redosleda operacija omogućiti da pojednostavite većinu jednostavnih izraza, ali da biste pojednostavili polinom (izraz sa promenljivom) morate znati posebne trikove (pogledajte sledeći odeljak).

2. Počnite rješavanjem izraza u zagradama. U matematici, zagrade označavaju da se izraz unutar njih mora prvo procijeniti. Stoga, kada pojednostavljujete bilo koji matematički izraz, počnite rješavanjem izraza zatvorenog u zagradama (nije bitno koje operacije trebate izvesti unutar zagrada). Ali zapamtite da kada radite s izrazom zatvorenim u zagradama, morate slijediti redoslijed operacija, to jest, pojmovi u zagradama se prvo množe, dijele, sabiraju, oduzimaju itd.

   • Na primjer, pojednostavimo izraz 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Ovdje počinjemo s izrazima u zagradama: 5 + 2 = 7 i 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
     • Izraz u drugom paru zagrada se pojednostavljuje na 5 jer se prvo mora podijeliti 4/2 (prema ispravnom redoslijedu operacija). Ako ne slijedite ovaj redoslijed, dobit ćete pogrešan odgovor: 3 + 4 = 7 i 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Ako postoji još jedan par zagrada u zagradama, počnite s pojednostavljivanjem rješavanjem izraza u unutrašnjim zagradama, a zatim prijeđite na rješavanje izraza u vanjskim zagradama.

3. Eksponencijalno. Nakon što ste riješili izraze u zagradama, prijeđite na eksponencijaciju (zapamtite da stepen ima eksponent i bazu). Podignite odgovarajući izraz (ili broj) na stepen i zamenite rezultat u izraz koji vam je dat.

   • U našem primjeru, jedini izraz (broj) na stepen je 3 2: 3 2 = 9. U izrazu koji vam je dat zamijenite 3 2 sa 9 i dobit ćete: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. Pomnožite. Zapamtite da se operacija množenja može predstaviti sljedećim simbolima: "x", "∙" ili "*". Ali ako nema simbola između broja i varijable (na primjer, 2x) ili između broja i broja u zagradama (na primjer, 4(7)), onda je to također operacija množenja.

   • U našem primjeru postoje dvije operacije množenja: 2x (dvije pomnoženo promjenljivom “x”) i 4(7) (četiri pomnoženo sa sedam). Ne znamo vrijednost x, pa ćemo ostaviti izraz 2x kakav jeste. 4(7) = 4 x 7 = 28. Sada možete prepisati izraz koji vam je dat na sljedeći način: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Podijelite. Zapamtite da se operacija dijeljenja može predstaviti sljedećim simbolima: “/”, “÷” ili “–” (posljednji znak možete vidjeti u razlomcima). Na primjer, 3/4 je tri podijeljeno sa četiri.

   • U našem primjeru više nema operacije dijeljenja, jer ste već podijelili 4 sa 2 (4/2) prilikom rješavanja izraza u zagradama. Dakle, možete preći na sljedeći korak. Zapamtite da većina izraza ne sadrži sve matematičke operacije (samo neke od njih).

6. Presavijte. Kada dodajete pojmove izraza, možete početi s terminom koji je krajnji (lijevo), ili možete prvo dodati pojmove koji se lako dodaju. Na primjer, u izrazu 49 + 29 + 51 +71 prvo je lakše dodati 49 + 51 = 100, zatim 29 + 71 = 100 i na kraju 100 + 100 = 200. Mnogo je teže dodati ovako: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • U našem primjeru 2x + 28 + 9 + 5 postoje dvije operacije sabiranja. Počnimo s krajnjim (lijevim) članom: 2x + 28; ne možete sabrati 2x i 28 jer ne znate vrijednost varijable "x". Dakle, dodajte 28 + 9 = 37. Sada se izraz može prepisati na sljedeći način: 2x + 37 - 5.

7. Oduzmi. Ovo je posljednja operacija u ispravnom redoslijedu izvođenja matematičkih operacija. U ovoj fazi možete dodati i negativne brojeve ili to učiniti u fazi sabiranja pojmova - to ni na koji način neće utjecati na konačni rezultat.

   • U našem primjeru 2x + 37 - 5 postoji samo jedna operacija oduzimanja: 37 - 5 = 32.

8. U ovoj fazi, nakon izvođenja svih matematičkih operacija, trebali biste dobiti pojednostavljeni izraz. Ali ako izraz koji vam je dat sadrži jednu ili više varijabli, zapamtite da će termin s varijablom ostati onakav kakav jeste. Rješavanje (ne pojednostavljivanje) izraza s promjenljivom uključuje pronalaženje vrijednosti te varijable. Ponekad se varijabilni izrazi mogu pojednostaviti korištenjem posebnih metoda (pogledajte sljedeći odjeljak).

   • U našem primjeru, konačni odgovor je 2x + 32. Ne možete dodati dva člana dok ne znate vrijednost varijable "x". Jednom kada znate vrijednost varijable, lako možete pojednostaviti ovaj binom.

   Pojednostavljivanje složenih izraza

   1. Dodavanje sličnih pojmova. Zapamtite da možete oduzimati i sabirati samo slične članove, odnosno članove sa istom varijablom i istim eksponentom. Na primjer, možete dodati 7x i 5x, ali ne možete dodati 7x i 5x 2 (pošto su eksponenti različiti).

      • Ovo pravilo se također primjenjuje na članove s više varijabli. Na primjer, možete dodati 2xy 2 i -3xy 2 , ali ne možete dodati 2xy 2 i -3x 2 y ili 2xy 2 i -3y 2 .
      • Pogledajmo primjer: x 2 + 3x + 6 - 8x. Ovdje su slični pojmovi 3x i 8x, tako da se mogu sabrati. Pojednostavljeni izraz izgleda ovako: x 2 - 5x + 6.

   2. Pojednostavite brojčani razlomak. U takvom razlomku i brojnik i imenilac sadrže brojeve (bez varijable). Razlomak se može pojednostaviti na nekoliko načina. Prvo, jednostavno podijelite imenilac sa brojnikom. Drugo, razdijelite brojilac i nazivnik i poništite slične faktore (jer će vam dijeljenje broja samim sobom dati 1). Drugim riječima, ako i brojnik i nazivnik imaju isti faktor, možete ga ispustiti i dobiti pojednostavljeni razlomak.

      • Na primjer, razmotrite razlomak 36/60. Koristeći kalkulator, podijelite 36 sa 60 da dobijete 0,6. Ali ovaj razlomak možete pojednostaviti na drugi način tako što ćete rastaviti brojnik i imenilac: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Pošto je 6/6 = 1, pojednostavljeni razlomak je: 1 x 6/10 = 6/10. Ali ovaj razlomak se također može pojednostaviti: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. Ako razlomak sadrži varijablu, možete poništiti slične faktore s promjenljivom. Faktorite i brojnik i imenilac i poništite slične faktore, čak i ako sadrže varijablu (zapamtite da slični faktori ovdje mogu ili ne moraju sadržavati varijablu).

      • Pogledajmo primjer: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Ovaj izraz se može prepisati (faktorisati) u obliku: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Pošto je 3x član i u brojniku i u nazivniku, možete ga poništiti da biste dobili pojednostavljeni izraz: (x + 1)/(5 - x). Pogledajmo još jedan primjer: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Imajte na umu da ne možete poništiti nijedan izraz - poništavaju se samo identični faktori koji su prisutni i u brojniku i u nazivniku. Na primjer, u izrazu (x(x + 2))/x, varijabla (faktor) “x” je i u brojniku i u nazivniku, tako da se “x” može smanjiti da bi se dobio pojednostavljeni izraz: (x + 2)/1 = x + 2. Međutim, u izrazu (x + 2)/x, varijabla “x” se ne može reducirati (pošto “x” nije faktor u brojiocu).

   4. Otvorena zagrada. Da biste to učinili, pomnožite termin izvan zagrada sa svakim članom u zagradama. Ponekad ovo pomaže da se pojednostavi složeni izraz. Ovo se odnosi i na članove koji su prosti brojevi i na članove koji sadrže varijablu.

      • Na primjer, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24, i 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Imajte na umu da u razlomcima nema potrebe za otvaranjem zagrada ako i brojnik i imenilac imaju isti faktor. Na primjer, u izrazu (3(x 2 + 8))/3x nema potrebe za proširivanjem zagrada, jer ovdje možete poništiti faktor 3 i dobiti pojednostavljeni izraz (x 2 + 8)/x. Sa ovim izrazom je lakše raditi; ako otvorite zagrade, dobili biste sljedeći složeni izraz: (3x 3 + 24x)/3x.

Trebaće ti

• - koncept monoma polinoma;
• - skraćene formule za množenje;
• - operacije sa razlomcima;
• - osnovni trigonometrijski identiteti.

Instrukcije

Ako izraz sadrži monome sa , pronaći zbroj njihovih koeficijenata i pomnožiti sa istim faktorom za njih. Na primjer, ako postoji izraz 2 a-4 a+5 a+a=(2-4+5+1)∙a=4∙a.

Ako je izraz prirodan razlomak, odaberite zajednički faktor iz brojnika i nazivnika i smanjite razlomak za njega. Na primjer, ako trebate smanjiti razlomak (3 a²-6 a b+3 b²)/(6∙a²-6∙b²), uklonite zajedničke faktore iz brojila i nazivnika u brojiocu, to će biti 3, u nazivnik 6. Dobijte izraz (3 ( a²-2 a b+b²))/(6∙(a²-b²)). Smanjite brojilac i nazivnik za 3 i primijenite skraćene formule za množenje na preostale izraze. Za brojnik je to kvadrat razlike, a za nazivnik je razlika kvadrata. Dobijte izraz (a-b)²/(2∙ (a+b)∙(a-b)) smanjivanjem za zajednički faktor a-b, dobićete izraz (a-b)/(2∙ (a+b)), koji je mnogo lakše za određene vrijednosti varijabli brojati.

Ako monomi imaju identične faktore podignute na stepen, onda prilikom njihovog sabiranja vodite računa da su potencije jednake, inače je nemoguće smanjiti slične. Na primjer, ako postoji izraz 2∙m²+6 m³-m²-4 m³+7, onda kada se kombinuju slični, rezultat će biti m²+2 m³+7.

Kada pojednostavljujete trigonometrijske identitete, koristite formule da ih pretvorite. Osnovni trigonometrijski identitet sin²(x)+cos²(x)=1, sin(x)/cos(x)=tg(x), 1/ tg(x)= ctg(x), formule za zbir i razliku argumenata , dvostruki, trostruki argument i drugi. Na primjer, (sin(2∙x)- cos(x))/ ctg(x). Zapišite formulu za dvostruki argument i kotangens kao omjer kosinusa i sinusa. Dobiti (2∙ sin(x) cos(x)- cos(x)) sin(x)/cos(x). Izvadite zajednički faktor, cos(x) i poništite razlomak cos(x) (2∙ sin(x) - 1) sin(x)/cos(x)= (2∙ sin(x) - 1) sin( x).

Video na temu

Izvori:

• formula za pojednostavljenje izraza

Kratkoća je, kako kažu, sestra talenta. Svi žele da pokažu svoj talenat, ali njegova sestra je komplikovana stvar. Iz nekog razloga, briljantne misli prirodno poprimaju oblik složenih rečenica s mnogo priloških fraza. Međutim, na vama je da pojednostavite svoje prijedloge i učinite ih razumljivim i dostupnim svima.

Instrukcije

Kako biste olakšali primaocu (bilo slušaocu ili čitaocu), pokušajte zamijeniti participalne i participalne fraze kratkim podređenim rečenicama, pogotovo ako je u jednoj rečenici previše gore navedenih fraza. “Mačka koja je došla kući, upravo je pojela miša, glasno je predela, milovala svog vlasnika, pokušavajući ga pogledati u oči, nadajući se da će moliti ribu donesenu iz trgovine” - ovo neće uspjeti. Razbijte takvu strukturu na nekoliko dijelova, uzmite si vremena i ne pokušavajte sve reći u jednoj rečenici, bit ćete sretni.

Ako ste smislili briljantnu izjavu, ali se ispostavi da ima previše podređenih rečenica (posebno s jednom), onda je bolje razbiti izjavu u nekoliko zasebnih rečenica ili izostaviti neki element. “Odlučili smo da će on reći Marini Vasiljevni, da će Katja reći Viti da...” - možemo nastaviti u nedogled. Zaustavite se na vrijeme i zapamtite ko će ovo čitati ili slušati.

Međutim, zamke ne leže samo u strukturi rečenice. Obratite pažnju na vokabular. Strane riječi, dugi izrazi, riječi preuzete iz fikcije 19. stoljeća - sve će to samo zakomplicirati percepciju. Neophodno je da sami razjasnite za koju publiku sastavljate tekst: tehničari će, naravno, razumeti i složene termine i specifične reči; ali ako ponudite iste riječi profesorici književnosti, malo je vjerovatno da će vas ona razumjeti.

Talenat je velika stvar. Ako ste talentovani (a nema ljudi bez sposobnosti), mnogi putevi se otvaraju pred vama. Ali talenat ne leži u složenosti, već u jednostavnosti, što je čudno. Neka bude jednostavno i vaši talenti će biti jasni i dostupni svima.

Video na temu

Naučiti pojednostaviti izraze u matematici jednostavno je neophodno kako bi se pravilno i brzo rješavali problemi i razne jednadžbe. Pojednostavljivanje izraza uključuje smanjenje broja koraka, što olakšava proračune i štedi vrijeme.

Instrukcije

Naučite izračunati snage c. Množenjem stepena c dobija se broj čija je baza ista, a eksponenti se sabiraju b^m+b^n=b^(m+n). Prilikom dijeljenja potencija sa istim osnovama dobija se stepen broja čija baza ostaje ista, a eksponenti potencija se oduzimaju, a eksponent djelitelja b^m oduzima se od eksponenta dividende : b^n=b^(m-n). Prilikom podizanja stepena na stepen dobija se stepen broja čija baza ostaje ista, a eksponenti se množe (b^m)^n=b^(mn) Prilikom podizanja na stepen, svaki faktor (abc)^m=a^m *b^m*c^m

Faktorski polinomi, tj. zamislimo ih kao proizvod više faktora – polinoma i monoma. Izvadite zajednički faktor iz zagrada. Naučite osnovne skraćene formule za množenje: razlika kvadrata, kvadrat zbira, kvadrat razlike, zbir kocki, razlika kocki, kocka zbira i razlika. Na primjer, m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Ove formule su glavne u pojednostavljivanju izraza. Koristite metodu izolacije savršenog kvadrata u trinomu oblika ax^2+bx+c.

Skraćujte razlomke što je češće moguće. Na primjer, (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Ali zapamtite da možete smanjiti samo množitelje. Ako se brojnik i nazivnik algebarskog razlomka pomnože sa istim brojem koji nije nula, tada se vrijednost razlomka neće promijeniti. Postoje dva načina transformacije racionalnih izraza: lancem i akcijama. Druga metoda je poželjnija, jer lakše je provjeriti rezultate međudjelovanja.

Često je potrebno izdvojiti korijene u izrazima. Parni korijeni se izdvajaju samo iz nenegativnih izraza ili brojeva. Neparni korijeni se mogu izdvojiti iz bilo kojeg izraza.

Izvori:

• pojednostavljivanje izraza sa potencijama

"Izraz" u matematici se obično odnosi na skup aritmetičkih i algebarskih operacija koje uključuju brojeve i varijabilne vrijednosti. Po analogiji s formatom pisanja brojeva, takav skup se naziva "razlomkom" u slučaju kada sadrži operaciju dijeljenja. Operacije pojednostavljivanja primjenjuju se na frakcione izraze, kao i na brojeve u formatu razlomaka.

Instrukcije

Počnite pronalaženjem zajedničkog faktora za , koji stoji u brojiocu i - ovo je isto i za numeričke omjere i za one koji sadrže nepoznate varijable. Na primjer, ako je brojilac 45*X, a nazivnik 18*Y, tada je najveći zajednički faktor 9. Nakon završetka ovog koraka, brojilac se može napisati kao 9*5*X, a nazivnik kao 9*2* Y.

Ako izrazi u brojiocu i nazivniku sadrže kombinaciju osnovnih matematičkih operacija (, dijeljenje, sabiranje i oduzimanje), tada ćete prvo morati odvojiti zajednički faktor za svaki od njih posebno, a zatim iz njih izolirati najveći zajednički faktor brojevi. Na primjer, za izraz 45*X+180, koji se nalazi u brojiocu, faktor 45 treba izvaditi iz zagrada: 45*X+180 = 45*(X+4). A izraz 18+54*Y u nazivniku mora se svesti na oblik 18*(1+3*Y). Zatim, kao iu prethodnom koraku, pronađite najveći zajednički djelitelj faktora izvađenih iz zagrada: 45*X+180 / 18+54*Y = 45*(X+4) / 18*(1+3*Y) = 9*5* (X+4) / 9*2*(1+3*Y). U ovom primjeru je također jednako devet.

Smanjite zajednički faktor izraza u brojniku i nazivniku razlomka pronađenog u prethodnim koracima. Za primjer iz prvog koraka, cjelokupna operacija pojednostavljenja može se napisati na sljedeći način: 45*X / 18*Y = 9*5*X / 9*2*Y = 5*X / 2*Y.

Kada se pojednostavljuje, zajednički djelitelj koji se reducira ne mora biti broj; može biti i izraz koji sadrži varijablu. Na primjer, ako je brojnik razlomka (4*X + X*Y + 12 + 3*Y), a nazivnik (X*Y + 3*Y - 7*X - 21), tada je najveći zajednički djelitelj će biti izraz X+ 3, koji treba smanjiti da bi se izraz pojednostavio: (4*X + X*Y + 12 + 3*Y) / (X*Y + 3*Y - 7*X - 21) = ( X+3)*(4 +Y) / (X+3)*(Y-7) = (4+Y) / (Y-7).