Come risolvere un esempio per semplificare un'espressione. Conversione di espressioni

Alpha sta per numero reale. Il segno uguale nelle espressioni precedenti indica che se aggiungi un numero o un infinito all'infinito, non cambierà nulla, il risultato sarà lo stesso infinito. Se prendiamo come esempio l'insieme infinito dei numeri naturali, gli esempi considerati possono essere rappresentati in questa forma:

Per dimostrare chiaramente che avevano ragione, i matematici hanno escogitato molti metodi diversi. Personalmente, considero tutti questi metodi come sciamani che ballano con i tamburelli. In sostanza, tutto si riduce al fatto che alcune stanze non sono occupate e si trasferiscono nuovi ospiti, oppure che alcuni visitatori vengono gettati nel corridoio per fare posto agli ospiti (molto umanamente). Ho presentato il mio punto di vista su tali decisioni sotto forma di una storia fantasy sulla Bionda. Su cosa si basa il mio ragionamento? Lo spostamento di un numero infinito di visitatori richiede una quantità infinita di tempo. Dopo che abbiamo lasciato libera la prima stanza per un ospite, uno dei visitatori percorrerà sempre il corridoio dalla sua stanza a quella successiva fino alla fine del tempo. Naturalmente, il fattore tempo può essere stupidamente ignorato, ma questo rientra nella categoria “nessuna legge è scritta per gli sciocchi”. Tutto dipende da cosa stiamo facendo: adattare la realtà alle teorie matematiche o viceversa.

Cos’è un “hotel senza fine”? Un hotel infinito è un hotel che ha sempre un numero qualsiasi di letti vuoti, indipendentemente da quante stanze sono occupate. Se tutte le stanze dell'infinito corridoio "visitatori" sono occupate, c'è un altro corridoio infinito con le stanze "degli ospiti". Ci sarà un numero infinito di tali corridoi. Inoltre, l’“hotel infinito” ha un numero infinito di piani in un numero infinito di edifici su un numero infinito di pianeti in un numero infinito di universi creati da un numero infinito di Dei. I matematici non riescono a prendere le distanze dai banali problemi quotidiani: c'è sempre un solo Dio-Allah-Buddha, c'è un solo albergo, c'è un solo corridoio. Così i matematici stanno cercando di destreggiarsi tra i numeri seriali delle camere d’albergo, convincendoci che è possibile “inserire l’impossibile”.

Ti dimostrerò la logica del mio ragionamento usando l'esempio di un insieme infinito di numeri naturali. Per prima cosa devi rispondere a una domanda molto semplice: quanti insiemi di numeri naturali ci sono: uno o molti? Non esiste una risposta corretta a questa domanda, poiché i numeri li abbiamo inventati noi stessi; i numeri non esistono in Natura. Sì, la Natura è bravissima a contare, ma per questo utilizza altri strumenti matematici che non ci sono familiari. Quello che pensa la Natura ti dirò un’altra volta. Dato che abbiamo inventato i numeri, saremo noi a decidere quanti insiemi di numeri naturali esistono. Consideriamo entrambe le opzioni, come si addice ai veri scienziati.

Opzione uno. “Diamoci” un unico insieme di numeri naturali, che giace serenamente sullo scaffale. Prendiamo questo set dallo scaffale. Questo è tutto, non ci sono altri numeri naturali rimasti sullo scaffale e nessun posto dove portarli. Non possiamo aggiungerne uno a questo set, poiché lo abbiamo già. E se lo volessi davvero? Nessun problema. Possiamo prenderne uno dal set che abbiamo già preso e rimetterlo sullo scaffale. Dopodiché possiamo prenderne uno dallo scaffale e aggiungerlo a ciò che ci è rimasto. Di conseguenza, otterremo nuovamente un insieme infinito di numeri naturali. Puoi scrivere tutte le nostre manipolazioni in questo modo:

Ho scritto le azioni in notazione algebrica e in notazione della teoria degli insiemi, con un elenco dettagliato degli elementi dell'insieme. Il pedice indica che abbiamo un solo ed unico insieme di numeri naturali. Si scopre che l'insieme dei numeri naturali rimarrà invariato solo se ne viene sottratto uno e viene aggiunta la stessa unità.

Opzione due. Abbiamo molti diversi insiemi infiniti di numeri naturali sul nostro scaffale. Sottolineo: DIVERSI, nonostante siano praticamente indistinguibili. Prendiamo uno di questi set. Quindi ne prendiamo uno da un altro insieme di numeri naturali e lo aggiungiamo all'insieme che abbiamo già preso. Possiamo anche sommare due insiemi di numeri naturali. Questo è ciò che otteniamo:

I pedici "uno" e "due" indicano che questi elementi appartenevano a insiemi diversi. Sì, se aggiungi uno a un insieme infinito, anche il risultato sarà un insieme infinito, ma non sarà uguale all'insieme originale. Se aggiungi un altro insieme infinito a un insieme infinito, il risultato è un nuovo insieme infinito costituito dagli elementi dei primi due insiemi.

L'insieme dei numeri naturali viene utilizzato per contare allo stesso modo di un righello per misurare. Ora immagina di aver aggiunto un centimetro al righello. Questa sarà una linea diversa, non uguale a quella originale.

Puoi accettare o meno il mio ragionamento: sono affari tuoi. Ma se mai dovessi incontrare problemi matematici, pensa se stai seguendo il percorso del falso ragionamento percorso da generazioni di matematici. Dopotutto, lo studio della matematica, prima di tutto, forma in noi uno stereotipo stabile del pensiero e solo allora aumenta le nostre capacità mentali (o, al contrario, ci priva della libertà di pensiero).

Domenica 4 agosto 2019

Stavo finendo il post scriptum di un articolo sull'argomento e ho visto questo meraviglioso testo su Wikipedia:

Leggiamo: "... la ricca base teorica della matematica di Babilonia non aveva un carattere olistico e si riduceva a un insieme di tecniche disparate, prive di un sistema comune e di una base di prove".

Oh! Quanto siamo intelligenti e quanto bene riusciamo a vedere i difetti degli altri. È difficile per noi guardare alla matematica moderna nello stesso contesto? Parafrasando leggermente il testo sopra, personalmente ho ottenuto quanto segue:

La ricca base teorica della matematica moderna non è di natura olistica ed è ridotta a un insieme di sezioni disparate, prive di un sistema comune e di una base di prove.

Non andrò lontano per confermare le mie parole: ha un linguaggio e convenzioni diverse dal linguaggio e dalle convenzioni di molti altri rami della matematica. Gli stessi nomi in diversi rami della matematica possono avere significati diversi. Voglio dedicare tutta una serie di pubblicazioni agli errori più evidenti della matematica moderna. Arrivederci.

Sabato 3 agosto 2019

Come dividere un insieme in sottoinsiemi? Per fare ciò è necessario inserire una nuova unità di misura che è presente in alcuni elementi dell'insieme selezionato. Diamo un'occhiata a un esempio.

Possiamo averne in abbondanza UN composto da quattro persone. Questo insieme è formato sulla base delle “persone”. Indichiamo gli elementi di questo insieme con la lettera UN, il pedice con un numero indicherà il numero di serie di ciascuna persona in questo set. Introduciamo una nuova unità di misura "genere" e denotiamola con la lettera B. Poiché le caratteristiche sessuali sono inerenti a tutte le persone, moltiplichiamo ogni elemento dell'insieme UN in base al genere B. Si noti che il nostro insieme di “persone” è ora diventato un insieme di “persone con caratteristiche di genere”. Successivamente possiamo dividere i caratteri sessuali in maschili bm e quello delle donne peso corporeo caratteristiche sessuali. Ora possiamo applicare un filtro matematico: selezioniamo una di queste caratteristiche sessuali, non importa quale sia maschile o femminile. Se una persona ce l'ha, lo moltiplichiamo per uno, se non esiste un segno del genere, lo moltiplichiamo per zero. E poi usiamo la matematica scolastica normale. Guarda cosa è successo.

Dopo la moltiplicazione, la riduzione e la riorganizzazione, ci siamo ritrovati con due sottoinsiemi: il sottoinsieme degli uomini Bm e un sottoinsieme di donne Bw. I matematici ragionano più o meno allo stesso modo quando applicano la teoria degli insiemi nella pratica. Ma non ci dicono i dettagli, ma ci danno il risultato finale: “molte persone sono costituite da un sottoinsieme di uomini e un sottoinsieme di donne”. Naturalmente potresti avere una domanda: come è stata applicata correttamente la matematica nelle trasformazioni sopra descritte? Oserei assicurarti che, in sostanza, le trasformazioni sono state eseguite correttamente; è sufficiente conoscere le basi matematiche dell'aritmetica, dell'algebra booleana e di altri rami della matematica. Cos'è? Un'altra volta ti parlerò di questo.

Per quanto riguarda i superset, puoi unire due insiemi in un unico superset selezionando l'unità di misura presente negli elementi di questi due insiemi.

Come puoi vedere, le unità di misura e la matematica ordinaria rendono la teoria degli insiemi una reliquia del passato. Un segno che non tutto va bene con la teoria degli insiemi è che i matematici hanno escogitato un proprio linguaggio e una propria notazione per la teoria degli insiemi. I matematici agivano come un tempo facevano gli sciamani. Solo gli sciamani sanno come applicare “correttamente” la loro “conoscenza”. Ci insegnano questa “conoscenza”.

In conclusione, voglio mostrarti come i matematici manipolano i dati .

Lunedì 7 gennaio 2019

Nel V secolo a.C., l'antico filosofo greco Zenone di Elea formulò le sue famose aporie, la più famosa delle quali è l'aporia “Achille e la Tartaruga”. Ecco come sembra:

Diciamo che Achille corre dieci volte più veloce della tartaruga ed è mille passi indietro. Durante il tempo impiegato da Achille per percorrere questa distanza, la tartaruga farà cento passi nella stessa direzione. Quando Achille fa cento passi, la tartaruga striscia altri dieci passi e così via. Il processo continuerà all'infinito, Achille non raggiungerà mai la tartaruga.

Questo ragionamento divenne uno shock logico per tutte le generazioni successive. Aristotele, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert... Tutti consideravano, in un modo o nell'altro, l'aporia di Zenone. Lo shock è stato così forte che" ... le discussioni continuano ancora oggi; la comunità scientifica non è ancora riuscita a raggiungere un'opinione comune sull'essenza dei paradossi ... analisi matematica, teoria degli insiemi, nuovi approcci fisici e filosofici sono stati coinvolti nello studio della questione ; nessuno di loro è diventato una soluzione generalmente accettata al problema..."[Wikipedia, "L'Aporia di Zeno". Tutti capiscono di essere ingannati, ma nessuno capisce in cosa consiste l'inganno.

Da un punto di vista matematico Zenone nella sua aporia dimostrò chiaramente il passaggio dalla quantità a . Questa transizione implica applicazioni anziché permanenti. Per quanto ho capito, l'apparato matematico per l'utilizzo di unità di misura variabili non è stato ancora sviluppato, oppure non è stato applicato all'aporia di Zenone. Applicare la nostra solita logica ci porta in una trappola. Noi, a causa dell'inerzia del pensiero, applichiamo unità di tempo costanti al valore reciproco. Da un punto di vista fisico, sembra che il tempo rallenti fino a fermarsi completamente nel momento in cui Achille raggiunge la tartaruga. Se il tempo si ferma, Achille non può più correre più veloce della tartaruga.

Se capovolgiamo la nostra solita logica, tutto va a posto. Achille corre a velocità costante. Ogni segmento successivo del suo percorso è dieci volte più breve del precedente. Di conseguenza, il tempo impiegato per superarlo è dieci volte inferiore a quello precedente. Se applichiamo il concetto di “infinito” a questa situazione, allora sarebbe corretto dire “Achille raggiungerà la tartaruga con una rapidità infinita”.

Come evitare questa trappola logica? Rimanere in unità di tempo costanti e non passare a unità reciproche. Nel linguaggio di Zenone appare così:

Nel tempo impiegato da Achille per percorrere mille passi, la tartaruga ne farà cento nella stessa direzione. Durante il successivo intervallo di tempo uguale al primo, Achille percorrerà altri mille passi e la tartaruga ne farà cento. Adesso Achille è ottocento passi avanti alla tartaruga.

Questo approccio descrive adeguatamente la realtà senza paradossi logici. Ma questa non è una soluzione completa al problema. L’affermazione di Einstein sull’irresistibilità della velocità della luce è molto simile all’aporia di Zenone “Achille e la tartaruga”. Dobbiamo ancora studiare, ripensare e risolvere questo problema. E la soluzione va cercata non nei numeri infinitamente grandi, ma nelle unità di misura.

Un'altra interessante aporia di Zenone racconta di una freccia volante:

Una freccia volante è immobile, poiché in ogni momento è a riposo, e poiché è a riposo in ogni momento, è sempre a riposo.

In questa aporia, il paradosso logico viene superato in modo molto semplice: è sufficiente chiarire che in ogni momento una freccia volante è ferma in diversi punti dello spazio, il che, in realtà, è movimento. Qui occorre notare un altro punto. Da una fotografia di un'auto sulla strada è impossibile determinare né il fatto del suo movimento né la distanza da essa. Per determinare se un'auto si sta muovendo, sono necessarie due fotografie scattate dallo stesso punto in momenti diversi nel tempo, ma non è possibile determinare la distanza da esse. Per determinare la distanza da un'auto, sono necessarie due fotografie scattate da diversi punti nello spazio in un determinato momento, ma da esse non è possibile determinare il fatto del movimento (ovviamente, hai ancora bisogno di dati aggiuntivi per i calcoli, la trigonometria ti aiuterà ). Ciò su cui voglio attirare l'attenzione in particolare è che due punti nel tempo e due punti nello spazio sono cose diverse che non devono essere confuse, perché offrono diverse opportunità di ricerca.

Mercoledì 4 luglio 2018

Vi ho già detto con l'aiuto di cui gli sciamani cercano di ordinare la "" realtà. Come fanno? Come avviene concretamente la formazione di un insieme?

Diamo uno sguardo più da vicino alla definizione di insieme: "un insieme di elementi diversi, concepiti come un unico insieme". Ora senti la differenza tra due frasi: “concepibile nel suo insieme” e “concepibile nel suo insieme”. La prima frase è il risultato finale, il set. La seconda frase è una preparazione preliminare alla formazione di una moltitudine. In questa fase la realtà viene divisa in singoli elementi (il “tutto”), da cui si formerà poi una moltitudine (il “tutto unico”). Allo stesso tempo, il fattore che consente di combinare il “tutto” in un “tutto unico” viene attentamente monitorato, altrimenti gli sciamani non ci riusciranno. Dopotutto, gli sciamani sanno in anticipo esattamente quale set vogliono mostrarci.

Ti mostrerò il procedimento con un esempio. Selezioniamo il "rosso solido in un brufolo": questo è il nostro "tutto". Allo stesso tempo vediamo che queste cose sono con arco e ce ne sono senza arco. Successivamente, selezioniamo parte del "tutto" e formiamo un set "con un arco". Questo è il modo in cui gli sciamani si procurano il cibo legando la loro teoria degli insiemi alla realtà.

Adesso facciamo un piccolo trucchetto. Prendiamo “solido con un brufolo con un fiocco” e combiniamo questi “interi” in base al colore, selezionando gli elementi rossi. Abbiamo molto "rosso". Ora la domanda finale: i set risultanti “con fiocco” e “rosso” sono lo stesso set o due set diversi? Solo gli sciamani conoscono la risposta. Più precisamente, loro stessi non sanno nulla, ma come dicono, così sarà.

Questo semplice esempio mostra che la teoria degli insiemi è completamente inutile quando si tratta di realtà. Qual è il segreto? Abbiamo formato un set di "solido rosso con un brufolo e un fiocco". La formazione avveniva in quattro diverse unità di misura: colore (rosso), forza (solido), rugosità (brufoloso), decorazione (con fiocco). Solo un insieme di unità di misura permette di descrivere adeguatamente gli oggetti reali nel linguaggio della matematica. Questo è quello che sembra.

La lettera "a" con indici diversi indica diverse unità di misura. Tra parentesi sono evidenziate le unità di misura con cui si distingue il “tutto” in fase preliminare. Tra parentesi è indicata l'unità di misura con cui è formato l'insieme. L'ultima riga mostra il risultato finale: un elemento del set. Come puoi vedere, se utilizziamo unità di misura per formare un insieme, il risultato non dipende dall'ordine delle nostre azioni. E questa è matematica, e non la danza degli sciamani con i tamburelli. Gli sciamani possono “intuitivamente” arrivare allo stesso risultato, sostenendo che è “ovvio”, perché le unità di misura non fanno parte del loro arsenale “scientifico”.

Utilizzando le unità di misura, è molto semplice dividere un set o combinare più set in un unico superset. Diamo uno sguardo più da vicino all'algebra di questo processo.

Sabato 30 giugno 2018

Se i matematici non riescono a ridurre un concetto ad altri concetti, allora non capiscono nulla della matematica. Rispondo: in cosa differiscono gli elementi di un insieme dagli elementi di un altro insieme? La risposta è molto semplice: numeri e unità di misura.

Oggi tutto ciò che non prendiamo appartiene a un insieme (come ci assicurano i matematici). A proposito, hai visto nello specchio sulla tua fronte un elenco di quei set a cui appartieni? E non ho visto un elenco del genere. Dirò di più: in realtà nessuna cosa ha un tag con l'elenco dei set a cui appartiene questa cosa. I set sono tutte invenzioni degli sciamani. Come lo fanno? Diamo un'occhiata un po' più in profondità nella storia e vediamo come apparivano gli elementi del set prima che gli sciamani matematici li portassero nei loro set.

Molto tempo fa, quando nessuno aveva mai sentito parlare di matematica, e solo gli alberi e Saturno avevano anelli, enormi branchi di elementi selvaggi di insiemi vagavano per i campi fisici (dopo tutto, gli sciamani non avevano ancora inventato i campi matematici). Sembravano qualcosa del genere.

Sì, non sorprenderti, dal punto di vista matematico, tutti gli elementi degli insiemi sono molto simili ai ricci di mare: da un punto, come gli aghi, le unità di misura sporgono in tutte le direzioni. Per coloro che lo fanno, ricordo che qualsiasi unità di misura può essere rappresentata geometricamente come un segmento di lunghezza arbitraria e un numero come un punto. Dal punto di vista geometrico, qualsiasi quantità può essere rappresentata come un insieme di segmenti che sporgono in direzioni diverse da un punto. Questo punto è il punto zero. Non disegnerò questo pezzo di arte geometrica (nessuna ispirazione), ma puoi facilmente immaginarlo.

Quali unità di misura costituiscono un elemento di un insieme? Tutti i tipi di cose che descrivono un dato elemento da diversi punti di vista. Queste sono antiche unità di misura utilizzate dai nostri antenati e di cui tutti si sono dimenticati da tempo. Queste sono le moderne unità di misura che usiamo ora. Anche queste sono unità di misura a noi sconosciute, che i nostri discendenti inventeranno e che utilizzeranno per descrivere la realtà.

Abbiamo risolto la geometria: il modello proposto degli elementi del set ha una chiara rappresentazione geometrica. E la fisica? Le unità di misura sono il collegamento diretto tra matematica e fisica. Se gli sciamani non riconoscono le unità di misura come elemento a pieno titolo delle teorie matematiche, questo è un loro problema. Personalmente non riesco a immaginare la vera scienza della matematica senza unità di misura. Ecco perché all'inizio del racconto sulla teoria degli insiemi ho parlato dell'età della pietra.

Ma passiamo alla cosa più interessante: l'algebra degli elementi degli insiemi. Algebricamente, qualsiasi elemento di un insieme è un prodotto (il risultato della moltiplicazione) di quantità diverse.

Non ho deliberatamente utilizzato le convenzioni della teoria degli insiemi, poiché stiamo considerando un elemento di un insieme nel suo ambiente naturale prima dell'emergere della teoria degli insiemi. Ciascuna coppia di lettere tra parentesi indica una quantità separata, costituita da un numero indicato dalla lettera " N" e l'unità di misura indicata dalla lettera " UN". Gli indici accanto alle lettere indicano che i numeri e le unità di misura sono diversi. Un elemento dell'insieme può essere costituito da un numero infinito di quantità (quanto noi e i nostri discendenti abbiamo abbastanza immaginazione). Ogni parentesi è geometricamente raffigurata come un segmento separato Nell'esempio con il riccio di mare una parentesi è un ago.

In che modo gli sciamani formano insiemi di diversi elementi? Anzi, per unità di misura o per numeri. Non capendo nulla di matematica, prendono diversi ricci di mare e li esaminano attentamente alla ricerca di quell'unico ago, lungo il quale formano un insieme. Se esiste un ago del genere, allora questo elemento appartiene all'insieme; se non esiste, allora questo elemento non appartiene a questo insieme. Gli sciamani ci raccontano favole sui processi mentali e tutto il resto.

Come avrai intuito, lo stesso elemento può appartenere a insiemi molto diversi. Successivamente ti mostrerò come si formano insiemi, sottoinsiemi e altre sciocchezze sciamaniche. Come puoi vedere, “non possono esserci due elementi identici in un insieme”, ma se ci sono elementi identici in un insieme, tale insieme è chiamato “multiinsieme”. Gli esseri ragionevoli non capiranno mai una logica così assurda. Questo è il livello dei pappagalli parlanti e delle scimmie ammaestrate, che non hanno intelligenza dalla parola “completamente”. I matematici agiscono come normali formatori, predicandoci le loro idee assurde.

C'era una volta, gli ingegneri che costruirono il ponte erano su una barca sotto il ponte mentre testavano il ponte. Se il ponte crollasse, il mediocre ingegnere morirebbe sotto le macerie della sua creazione. Se il ponte potesse sopportare il carico, il talentuoso ingegnere costruì altri ponti.

Non importa come i matematici si nascondano dietro la frase “attenzione, sono in casa”, o meglio, “la matematica studia concetti astratti”, c’è un cordone ombelicale che li collega indissolubilmente alla realtà. Questo cordone ombelicale è il denaro. Applichiamo la teoria matematica degli insiemi ai matematici stessi.

Abbiamo studiato molto bene la matematica e ora siamo seduti alla cassa a distribuire gli stipendi. Quindi un matematico viene da noi per i suoi soldi. Gli contiamo l'intero importo e lo disponiamo sul nostro tavolo in pile diverse, nelle quali mettiamo banconote dello stesso taglio. Poi prendiamo una banconota da ogni pila e diamo al matematico il suo “stipendio matematico”. Spieghiamo al matematico che riceverà le restanti fatture solo quando dimostrerà che un insieme senza elementi identici non è uguale a un insieme con elementi identici. È qui che inizia il divertimento.

Innanzitutto funzionerà la logica dei deputati: “Questo può essere applicato agli altri, ma non a me!” Poi inizieranno a rassicurarci che le banconote dello stesso taglio hanno numeri di banconota diversi, il che significa che non possono essere considerate gli stessi elementi. Ok, contiamo gli stipendi in monete: non ci sono numeri sulle monete. Qui il matematico inizierà a ricordare freneticamente la fisica: monete diverse hanno quantità diverse di sporco, la struttura cristallina e la disposizione degli atomi è unica per ogni moneta...

E ora mi sorge la domanda più interessante: dov'è la linea oltre la quale gli elementi di un multiinsieme si trasformano in elementi di un insieme e viceversa? Una linea del genere non esiste: tutto è deciso dagli sciamani, la scienza non è nemmeno vicina a mentire qui.

Guarda qui. Selezioniamo stadi di calcio con la stessa superficie di campo. Le aree dei campi sono le stesse, il che significa che abbiamo un multiset. Ma se guardiamo i nomi di questi stessi stadi, ne otteniamo tanti, perché i nomi sono diversi. Come puoi vedere, lo stesso insieme di elementi è sia un insieme che un multiinsieme. Che è corretto? E qui il matematico-sciamano-tagliente tira fuori dalla manica un asso di briscola e comincia a parlarci di un set o di un multiset. In ogni caso ci convincerà che ha ragione.

Per capire come operano gli sciamani moderni con la teoria degli insiemi, legandola alla realtà, è sufficiente rispondere a una domanda: in che modo gli elementi di un insieme differiscono dagli elementi di un altro insieme? Te lo mostrerò senza alcun "concepibile come non un tutto unico" o "non concepibile come un tutto unico".

Utilizzando qualsiasi lingua, puoi esprimere le stesse informazioni con parole e frasi diverse. Il linguaggio matematico non fa eccezione. Ma la stessa espressione può essere scritta in modo equivalente in diversi modi. E in alcune situazioni, una delle voci è più semplice. Parleremo di semplificare le espressioni in questa lezione.

Le persone comunicano in diverse lingue. Per noi, un confronto importante è la coppia "lingua russa - lingua matematica". Le stesse informazioni possono essere comunicate in diverse lingue. Ma oltre a ciò, nella stessa lingua può essere pronunciato in modi diversi.

Ad esempio: "Petya è amico di Vasya", "Vasya è amico di Petya", "Petya e Vasya sono amici". Detto diversamente, ma è la stessa cosa. Da una qualsiasi di queste frasi capiremmo di cosa stiamo parlando.

Diamo un'occhiata a questa frase: "Il ragazzo Petya e il ragazzo Vasya sono amici". Capiamo di cosa stiamo parlando. Tuttavia non ci piace il suono di questa frase. Non possiamo semplificarlo, dire la stessa cosa, ma più semplice? "Ragazzo e ragazzo" - puoi dire una volta: "I ragazzi Petya e Vasya sono amici".

“Ragazzi”... Non è chiaro dai loro nomi che non sono ragazze? Rimuoviamo i "ragazzi": "Petya e Vasya sono amici". E la parola "amici" può essere sostituita con "amici": "Petya e Vasya sono amici". Di conseguenza, la prima, lunga e brutta frase è stata sostituita con un'affermazione equivalente, più facile da dire e da capire. Abbiamo semplificato questa frase. Semplificare significa dirlo in modo più semplice, senza però perderne o stravolgerne il significato.

Nel linguaggio matematico accade più o meno la stessa cosa. Si può dire la stessa cosa, scritta diversamente. Cosa significa semplificare un'espressione? Ciò significa che per l'espressione originale esistono molte espressioni equivalenti, cioè che significano la stessa cosa. E tra tutta questa varietà dobbiamo scegliere quella più semplice, a nostro avviso, ovvero quella più adatta ai nostri scopi ulteriori.

Consideriamo ad esempio l'espressione numerica. Sarà equivalente a .

Sarà anche equivalente ai primi due: .

Risulta che abbiamo semplificato le nostre espressioni e trovato l'espressione equivalente più breve.

Per le espressioni numeriche, devi sempre fare tutto e ottenere l'espressione equivalente come un singolo numero.

Consideriamo un esempio di espressione letterale . Ovviamente sarà più semplice.

Quando si semplificano le espressioni letterali, è necessario eseguire tutte le azioni possibili.

È sempre necessario semplificare un'espressione? No, a volte ci sarà più conveniente avere un ingresso equivalente ma più lungo.

Esempio: devi sottrarre un numero da un numero.

È possibile calcolare, ma se il primo numero fosse rappresentato dalla sua notazione equivalente: , i calcoli sarebbero istantanei: .

Cioè, un'espressione semplificata non è sempre vantaggiosa per noi per ulteriori calcoli.

Tuttavia, molto spesso ci troviamo di fronte a un compito che suona semplicemente come “semplificare l’espressione”.

Semplifica l'espressione: .

Soluzione

1) Eseguire le azioni indicate nella prima e nella seconda parentesi: .

2) Calcoliamo i prodotti: .

Ovviamente l'ultima espressione ha una forma più semplice di quella iniziale. Lo abbiamo semplificato.

Per semplificare l'espressione è necessario sostituirla con un equivalente (uguale).

Per determinare l'espressione equivalente è necessario:

1) eseguire tutte le azioni possibili,

2) utilizzare le proprietà di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione per semplificare i calcoli.

Proprietà di addizione e sottrazione:

1. Proprietà commutativa dell'addizione: riordinare i termini non cambia la somma.

2. Proprietà combinatoria dell'addizione: per aggiungere un terzo numero alla somma di due numeri, puoi aggiungere la somma del secondo e del terzo numero al primo numero.

3. La proprietà di sottrarre una somma da un numero: per sottrarre una somma da un numero, puoi sottrarre ogni termine separatamente.

Proprietà della moltiplicazione e della divisione

1. Proprietà commutativa della moltiplicazione: riordinare i fattori non cambia il prodotto.

2. Proprietà combinatoria: per moltiplicare un numero per il prodotto di due numeri, puoi prima moltiplicarlo per il primo fattore, quindi moltiplicare il prodotto risultante per il secondo fattore.

3. Proprietà distributiva della moltiplicazione: per moltiplicare un numero per una somma, è necessario moltiplicarlo per ciascun termine separatamente.

Vediamo come eseguiamo effettivamente i calcoli mentali.

Calcolare:

Soluzione

1) Immaginiamo come

2) Immaginiamo il primo fattore come somma di termini in bit ed eseguiamo la moltiplicazione:

3) puoi immaginare come ed eseguire la moltiplicazione:

4) Sostituisci il primo fattore con una somma equivalente:

La legge di distribuzione può essere utilizzata anche nella direzione opposta: .

Segui questi passi:

1) 2)

Soluzione

1) Per comodità, puoi usare la legge distributiva, usala solo nella direzione opposta: togli il fattore comune tra parentesi.

2) Togliamo il fattore comune tra parentesi

È necessario acquistare linoleum per la cucina e il corridoio. Zona cottura - , disimpegno - . Esistono tre tipi di linoleum: per e rubli per. Quanto costerà ciascuno dei tre tipi di linoleum? (Fig. 1)

Riso. 1. Illustrazione per la dichiarazione del problema

Soluzione

Metodo 1. Puoi scoprire separatamente quanti soldi ci vorranno per acquistare linoleum per la cucina, quindi metterlo nel corridoio e sommare i prodotti risultanti.

Semplificare le espressioni algebriche è una delle chiavi per imparare l'algebra ed è un'abilità estremamente utile per tutti i matematici. La semplificazione consente di ridurre un'espressione complessa o lunga in un'espressione semplice con cui sia facile lavorare. Le competenze di base di semplificazione vanno bene anche per chi non è entusiasta della matematica. Seguendo alcune semplici regole, puoi semplificare molti dei tipi più comuni di espressioni algebriche senza alcuna conoscenza matematica particolare.

Passi

Definizioni importanti

1. Membri simili . Si tratta di membri con una variabile dello stesso ordine, membri con le stesse variabili o membri liberi (membri che non contengono una variabile). In altre parole, termini simili includono la stessa variabile nella stessa misura, includono diverse variabili identiche o non includono affatto una variabile. L'ordine dei termini nell'espressione non ha importanza.

   • Ad esempio, 3x 2 e 4x 2 sono termini simili perché contengono una variabile del secondo ordine (alla seconda potenza) "x". Tuttavia x e x2 non sono termini simili, poiché contengono la variabile “x” di ordine diverso (primo e secondo). Allo stesso modo, -3yx e 5xz non sono termini simili perché contengono variabili diverse.

2. Fattorizzazione . Si tratta di trovare numeri il cui prodotto porta al numero originale. Qualsiasi numero originale può avere diversi fattori. Ad esempio, il numero 12 può essere scomposto nelle seguenti serie di fattori: 1 × 12, 2 × 6 e 3 × 4, quindi possiamo dire che i numeri 1, 2, 3, 4, 6 e 12 sono fattori del numero 12. I fattori sono gli stessi dei fattori , cioè i numeri per cui viene diviso il numero originale.

   • Ad esempio, se vuoi fattorizzare il numero 20, scrivilo in questo modo: 4×5.
   • Si noti che durante la fattorizzazione, la variabile viene presa in considerazione. Ad esempio, 20x = 4(5x).
   • I numeri primi non possono essere scomposti perché sono divisibili solo per se stessi e per 1.

3. Ricorda e segui l'ordine delle operazioni per evitare errori.

   • Parentesi
   • Grado
   • Moltiplicazione
   • Divisione
   • Aggiunta
   • Sottrazione

Portare membri simili

1. Scrivi l'espressione. Semplici espressioni algebriche (quelle che non contengono frazioni, radici, ecc.) possono essere risolte (semplificate) in pochi passaggi.

   • Ad esempio, semplifica l'espressione 1 + 2x - 3 + 4x.

2. Definire termini simili (termini con una variabile dello stesso ordine, termini con le stesse variabili o termini liberi).

   • Trova termini simili in questa espressione. I termini 2x e 4x contengono una variabile dello stesso ordine (prima). Inoltre, 1 e -3 sono termini liberi (non contengono una variabile). Quindi, in questa espressione i termini 2x e 4x sono simili, e i membri 1 e -3 sono anche simili.

3. Fornisci termini simili. Ciò significa aggiungerli o sottrarli e semplificare l'espressione.

   • 2x + 4x = 6x
   • 1 - 3 = -2

4. Riscrivi l'espressione tenendo conto dei termini indicati. Otterrai un'espressione semplice con meno termini. La nuova espressione è uguale a quella originale.

   • Nel nostro esempio: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x-2, ovvero l'espressione originale è semplificata e più facile da utilizzare.

5. Segui l'ordine delle operazioni quando porti membri simili. Nel nostro esempio, è stato facile fornire termini simili. Tuttavia, nel caso di espressioni complesse in cui i termini sono racchiusi tra parentesi e sono presenti frazioni e radici, non è così facile riportare tali termini. In questi casi, seguire l'ordine delle operazioni.

   • Ad esempio, considera l'espressione 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Qui sarebbe un errore definire subito 3x e 2x come termini simili e presentarli, perché è necessario prima aprire le parentesi. Pertanto, eseguire le operazioni secondo il loro ordine.
     • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
     • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
     • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Ora, quando l'espressione contiene solo operazioni di addizione e sottrazione, puoi riportare termini simili.
     • x2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
     • x2 + 12x + 3

Togliendo il moltiplicatore tra parentesi

1. Trovare massimo comun divisore(GCD) di tutti i coefficienti dell'espressione. MCD è il numero più grande per il quale sono divisi tutti i coefficienti dell'espressione.

   • Ad esempio, considera l'equazione 9x 2 + 27x - 3. In questo caso, MCD = 3, poiché qualsiasi coefficiente di questa espressione è divisibile per 3.

2. Dividi ciascun termine dell'espressione per MCD. I termini risultanti conterranno coefficienti più piccoli rispetto all'espressione originale.

   • Nel nostro esempio, dividi ciascun termine nell'espressione per 3.
     • 9x2/3 = 3x2
     • 27x/3 = 9x
     • -3/3 = -1
     • Il risultato è stato un'espressione 3x2 + 9x - 1. Non è uguale all'espressione originale.

3. Annota l'espressione originale come uguale al prodotto di mcd e l'espressione risultante. Cioè, racchiudi l'espressione risultante tra parentesi e togli il mcd dalle parentesi.

   • Nel nostro esempio: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x2 + 9x - 1)

4. Semplificare le espressioni frazionarie mettendo il fattore tra parentesi. Perché mettere semplicemente il moltiplicatore tra parentesi, come è stato fatto prima? Quindi, per imparare a semplificare espressioni complesse, come le espressioni frazionarie. In questo caso, mettere il fattore tra parentesi può aiutare a eliminare la frazione (dal denominatore).

   • Ad esempio, considera l'espressione frazionaria (9x 2 + 27x - 3)/3. Utilizza la fattorizzazione per semplificare questa espressione.
     • Metti il ​​fattore 3 tra parentesi (come hai fatto prima): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
     • Nota che ora c'è un 3 sia al numeratore che al denominatore. Questo può essere ridotto per ottenere l'espressione: (3x 2 + 9x – 1)/1
     • Poiché qualsiasi frazione che ha il numero 1 al denominatore è semplicemente uguale al numeratore, l'espressione della frazione originale si semplifica in: 3x2 + 9x - 1.

Ulteriori metodi di semplificazione

1. Semplificare le espressioni frazionarie. Come notato sopra, se sia il numeratore che il denominatore contengono gli stessi termini (o anche le stesse espressioni), allora possono essere ridotti. Per fare ciò, devi togliere tra parentesi il fattore comune del numeratore o del denominatore, oppure sia il numeratore che il denominatore. Oppure puoi dividere ogni termine del numeratore per il denominatore e quindi semplificare l'espressione.

   • Ad esempio, considera l'espressione frazionaria (5x 2 + 10x + 20)/10. Qui, dividi semplicemente ciascun termine del numeratore per il denominatore (10). Si noti però che il termine 5x2 non è equamente divisibile per 10 (poiché 5 è inferiore a 10).
     • Quindi scrivi un'espressione semplificata come questa: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.

2. Semplificazione delle espressioni radicali. Le espressioni sotto il segno della radice sono chiamate espressioni radicali. Possono essere semplificati mediante la loro scomposizione in fattori appropriati e la successiva rimozione di un fattore dalla radice.

   • Consideriamo un semplice esempio: √(90). Il numero 90 può essere scomposto nei seguenti fattori: 9 e 10, e da 9 possiamo prendere la radice quadrata (3) ed estrarre 3 da sotto la radice.
     • √(90)
     • √(9×10)
     • √(9)×√(10)
     • 3×√(10)
     • 3√(10)

3. Semplificare le espressioni con le potenze. Alcune espressioni contengono operazioni di moltiplicazione o divisione di termini con potenze. Nel caso di moltiplicazione di termini con la stessa base si sommano le loro potenze; nel caso di divisione di termini con la stessa base si sottraggono i loro gradi.

   • Consideriamo ad esempio l'espressione 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). Nel caso della moltiplicazione sommare le potenze, nel caso della divisione sottrarle.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • Quella che segue è una spiegazione delle regole per moltiplicare e dividere termini con potenze.
     • Moltiplicare i termini per le potenze equivale a moltiplicare i termini per se stessi. Ad esempio, poiché x 3 = x × x × x e x 5 = x × x × x × x × x, allora x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) o x8 .
     • Allo stesso modo, dividere i termini per gradi equivale a dividere i termini per se stessi. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Poiché i termini simili presenti sia al numeratore che al denominatore possono essere ridotti, il prodotto di due “x”, o x 2 , rimane al numeratore.

Spesso le attività richiedono una risposta semplificata. Sebbene siano corrette sia le risposte semplificate che quelle non semplificate, il tuo insegnante potrebbe abbassarti il ​​voto se non semplifichi la risposta. Inoltre, l'espressione matematica semplificata è molto più semplice da utilizzare. Pertanto, è molto importante imparare a semplificare le espressioni.

Passi

Ordine corretto delle operazioni matematiche

1. Ricorda l'ordine corretto per eseguire operazioni matematiche. Quando si semplifica un'espressione matematica, è necessario seguire un certo ordine di operazioni, poiché alcune operazioni matematiche hanno la precedenza su altre e devono essere eseguite per prime (infatti, non seguire l'ordine corretto delle operazioni porterà a un risultato errato). Ricorda il seguente ordine delle operazioni matematiche: espressione tra parentesi, esponenziazione, moltiplicazione, divisione, addizione, sottrazione.

   • Tieni presente che conoscere l'ordine corretto delle operazioni ti consentirà di semplificare la maggior parte delle espressioni semplici, ma per semplificare un polinomio (un'espressione con una variabile) devi conoscere trucchi speciali (vedi la sezione successiva).

2. Inizia risolvendo l'espressione tra parentesi. In matematica, le parentesi indicano che l'espressione al loro interno deve essere valutata per prima. Pertanto, quando si semplifica qualsiasi espressione matematica, iniziare risolvendo l'espressione racchiusa tra parentesi (non importa quali operazioni è necessario eseguire all'interno delle parentesi). Ma ricorda che quando lavori con un'espressione racchiusa tra parentesi, devi seguire l'ordine delle operazioni, ovvero i termini tra parentesi vengono prima moltiplicati, divisi, aggiunti, sottratti e così via.

   • Ad esempio, semplifichiamo l'espressione 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Qui iniziamo con le espressioni tra parentesi: 5 + 2 = 7 e 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
     • L'espressione nella seconda coppia di parentesi si semplifica in 5 perché 4/2 deve essere diviso per primo (secondo l'ordine corretto delle operazioni). Se non segui questo ordine, otterrai la risposta sbagliata: 3 + 4 = 7 e 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Se tra le parentesi è presente un'altra coppia di parentesi, inizia a semplificare risolvendo l'espressione tra parentesi interne e poi passa a risolvere l'espressione tra parentesi esterne.

3. Esponenziare. Dopo aver risolto le espressioni tra parentesi, passiamo all'elevamento a potenza (ricordiamo che una potenza ha un esponente e una base). Eleva a potenza l'espressione (o il numero) corrispondente e sostituisci il risultato nell'espressione che ti viene data.

   • Nel nostro esempio, l'unica espressione (numero) elevata è 3 2: 3 2 = 9. Nell'espressione che ti è stata data, sostituisci 3 2 con 9 e otterrai: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. Moltiplicare. Ricorda che l'operazione di moltiplicazione può essere rappresentata dai seguenti simboli: "x", "∙" o "*". Ma se non ci sono simboli tra il numero e la variabile (ad esempio 2x) o tra il numero e il numero tra parentesi (ad esempio 4(7)), anche questa è un'operazione di moltiplicazione.

   • Nel nostro esempio ci sono due operazioni di moltiplicazione: 2x (due moltiplicati per la variabile “x”) e 4(7) (quattro moltiplicati per sette). Non conosciamo il valore di x, quindi lasceremo l'espressione 2x così com'è. 4(7) = 4 x 7 = 28. Ora puoi riscrivere l'espressione che ti è stata data come segue: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Dividere. Ricorda che l'operazione di divisione può essere rappresentata dai seguenti simboli: “/”, “÷” o “–” (quest'ultimo carattere potrebbe essere presente nelle frazioni). Ad esempio, 3/4 è tre diviso quattro.

   • Nel nostro esempio non c'è più un'operazione di divisione, poiché hai già diviso 4 per 2 (4/2) risolvendo l'espressione tra parentesi. Quindi puoi passare al passaggio successivo. Ricorda che la maggior parte delle espressioni non contiene tutte le operazioni matematiche (solo alcune di esse).

6. Piega. Quando aggiungi i termini di un'espressione, puoi iniziare con il termine più lontano (a sinistra) oppure puoi aggiungere per primi i termini che si aggiungono facilmente. Ad esempio, nell'espressione 49 + 29 + 51 +71, è prima più semplice sommare 49 + 51 = 100, poi 29 + 71 = 100 e infine 100 + 100 = 200. È molto più difficile sommare in questo modo: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • Nel nostro esempio 2x + 28 + 9 + 5 ci sono due operazioni di addizione. Cominciamo con il termine più esterno (a sinistra): 2x + 28; non puoi sommare 2x e 28 perché non conosci il valore della variabile "x". Quindi aggiungi 28 + 9 = 37. Ora l'espressione può essere riscritta come segue: 2x + 37 - 5.

7. Sottrarre. Questa è l'ultima operazione nell'ordine corretto di esecuzione delle operazioni matematiche. In questa fase, puoi anche aggiungere numeri negativi o farlo nella fase di aggiunta dei termini: ciò non influirà in alcun modo sul risultato finale.

   • Nel nostro esempio 2x + 37 - 5 c'è una sola operazione di sottrazione: 37 - 5 = 32.

8. A questo punto, dopo aver eseguito tutte le operazioni matematiche, dovresti ottenere un'espressione semplificata. Ma se l'espressione che ti viene data contiene una o più variabili, ricorda che il termine con la variabile rimarrà così com'è. Risolvere (non semplificare) un'espressione con una variabile implica trovare il valore di quella variabile. A volte le espressioni variabili possono essere semplificate utilizzando metodi speciali (vedere la sezione successiva).

   • Nel nostro esempio, la risposta finale è 2x + 32. Non puoi sommare i due termini finché non conosci il valore della variabile "x". Una volta che conosci il valore della variabile, puoi facilmente semplificare questo binomio.

   Semplificazione di espressioni complesse

   1. Aggiunta di termini simili. Ricorda che puoi solo sottrarre e aggiungere termini simili, cioè termini con la stessa variabile e lo stesso esponente. Ad esempio, puoi sommare 7x e 5x, ma non puoi sommare 7x e 5x 2 (poiché gli esponenti sono diversi).

      • Questa regola si applica anche ai membri con più variabili. Ad esempio, puoi aggiungere 2xy 2 e -3xy 2 , ma non puoi aggiungere 2xy 2 e -3x 2 y o 2xy 2 e -3y 2 .
      • Consideriamo un esempio: x 2 + 3x + 6 - 8x. Qui i termini simili sono 3x e 8x, quindi possono essere sommati. Un'espressione semplificata è questa: x 2 - 5x + 6.

   2. Semplifica la frazione numerica. In tale frazione, sia il numeratore che il denominatore contengono numeri (senza variabile). Una frazione numerica può essere semplificata in diversi modi. Per prima cosa dividi semplicemente il denominatore per il numeratore. In secondo luogo, fattorizza il numeratore e il denominatore e annulla i fattori simili (poiché dividendo un numero per se stesso otterrai 1). In altre parole, se sia il numeratore che il denominatore hanno lo stesso fattore, puoi eliminarlo e ottenere una frazione semplificata.

      • Consideriamo ad esempio la frazione 36/60. Usando una calcolatrice, dividi 36 per 60 per ottenere 0,6. Ma puoi semplificare questa frazione in un altro modo fattorizzando il numeratore e il denominatore: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Poiché 6/6 = 1, la frazione semplificata è: 1 x 6/10 = 6/10. Ma questa frazione può anche essere semplificata: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. Se una frazione contiene una variabile, puoi cancellare fattori simili con la variabile. Fattorizza sia il numeratore che il denominatore e cancella i fattori simili, anche se contengono la variabile (ricorda che i fattori simili qui possono o meno contenere la variabile).

      • Consideriamo un esempio: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Questa espressione può essere riscritta (fattorizzata) nella forma: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Poiché il termine 3x è sia al numeratore che al denominatore, puoi cancellarlo per ottenere un'espressione semplificata: (x + 1)/(5 - x). Consideriamo un altro esempio: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Tieni presente che non puoi cancellare alcun termine: vengono cancellati solo i fattori identici presenti sia al numeratore che al denominatore. Ad esempio, nell'espressione (x(x + 2))/x, la variabile (fattore) “x” è sia al numeratore che al denominatore, quindi “x” può essere ridotto per ottenere un'espressione semplificata: (x + 2)/1 = x + 2. Tuttavia, nell'espressione (x + 2)/x, la variabile “x” non può essere ridotta (poiché “x” non è un fattore nel numeratore).

   4. Parentesi aperta. Per fare ciò, moltiplica il termine fuori parentesi per ciascun termine tra parentesi. A volte questo aiuta a semplificare un'espressione complessa. Questo vale sia per i membri che sono numeri primi sia per i membri che contengono una variabile.

      • Ad esempio, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 e 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Tieni presente che nelle espressioni frazionarie non è necessario aprire le parentesi se sia il numeratore che il denominatore hanno lo stesso fattore. Ad esempio, nell'espressione (3(x 2 + 8))/3x non è necessario espandere le parentesi, poiché qui puoi cancellare il fattore 3 e ottenere l'espressione semplificata (x 2 + 8)/x. È più facile lavorare con questa espressione; se espandessi le parentesi, otterresti la seguente espressione complessa: (3x 3 + 24x)/3x.

Avrai bisogno

• - il concetto di monomio di polinomio;
• - formule di moltiplicazione abbreviate;
• - operazioni con le frazioni;
• - identità trigonometriche di base.

Istruzioni

Se l'espressione contiene monomi con , trova la somma dei loro coefficienti e moltiplicali per lo stesso fattore. Ad esempio, se esiste un'espressione 2 a-4 a+5 a+a=(2-4+5+1)∙a=4∙a.

Se l'espressione è una frazione naturale, seleziona il fattore comune dal numeratore e dal denominatore e riduci la frazione di esso. Ad esempio, se devi ridurre la frazione (3 a²-6 a b+3 b²)/(6∙a²-6∙b²), rimuovi i fattori comuni dal numeratore e dal denominatore al numeratore sarà 3, in il denominatore 6. Ottieni l'espressione (3 ( a²-2 a b+b²))/(6∙(a²-b²)). Riduci il numeratore e il denominatore di 3 e applica le formule di moltiplicazione abbreviate alle espressioni rimanenti. Per il numeratore è il quadrato della differenza e per il denominatore è la differenza dei quadrati. Ottieni l'espressione (a-b)²/(2∙ (a+b)∙(a-b)) riducendola per il fattore comune a-b, ottieni l'espressione (a-b)/(2∙ (a+b)), che è molto più semplice per conteggiare valori specifici delle variabili.

Se i monomi hanno fattori identici elevati a una potenza, quando li sommi assicurati che le potenze siano uguali, altrimenti è impossibile ridurre quelle simili. Ad esempio, se esiste l'espressione 2∙m²+6 m³-m²-4 m³+7, quando si combinano elementi simili, il risultato sarà m²+2 m³+7.

Quando si semplificano le identità trigonometriche, utilizzare le formule per convertirle. Identità trigonometrica di base sin²(x)+cos²(x)=1, sin(x)/cos(x)=tg(x), 1/ tg(x)= ctg(x), formule per la somma e la differenza di argomenti , doppio, triplo argomento e altri. Ad esempio, (sin(2∙x)- cos(x))/ ctg(x). Scrivi la formula per il doppio argomento e la cotangente come il rapporto tra coseno e seno. Ottieni (2∙ sin(x) cos(x)- cos(x)) sin(x)/cos(x). Togli il divisore comune, cos(x) e cancella la frazione cos(x) (2∙ sin(x) - 1) sin(x)/cos(x)= (2∙ sin(x) - 1) sin( X).

Video sull'argomento

Fonti:

• formula di semplificazione dell'espressione

La brevità, come si suol dire, è la sorella del talento. Tutti vogliono mettere in mostra il proprio talento, ma sua sorella è una cosa complicata. Per qualche ragione, i pensieri brillanti assumono naturalmente la forma di frasi complesse con molte frasi avverbiali. Sta però a te semplificare le tue frasi e renderle comprensibili e accessibili a tutti.

Istruzioni

Per facilitare il destinatario (sia ascoltatore che lettore), prova a sostituire le frasi partecipative e partecipative con brevi clausole subordinate, soprattutto se ci sono troppe frasi di cui sopra in una frase. "Un gatto che è tornato a casa, dopo aver appena mangiato un topo, ha fatto le fusa rumorosamente, ha accarezzato il suo proprietario, cercando di guardarlo negli occhi, sperando di elemosinare il pesce portato dal negozio" - questo non funzionerà. Spezza una struttura del genere in più parti, prenditi il ​​tuo tempo e non cercare di dire tutto in una frase, sarai felice.

Se hai concepito un'affermazione brillante, ma risulta che ci sono troppe clausole subordinate (specialmente con una), allora è meglio suddividere l'affermazione in più frasi separate o omettere qualche elemento. "Abbiamo deciso che lo avrebbe detto a Marina Vasilievna, che Katya avrebbe detto a Vita che..." - possiamo continuare all'infinito. Fermati in tempo e ricorda chi leggerà o ascolterà questo.

Tuttavia le insidie ​​non risiedono solo nella struttura della frase. Presta attenzione al vocabolario. Parole straniere, termini lunghi, parole tratte dalla narrativa del XIX secolo: tutto ciò non farà altro che complicare la percezione. È necessario chiarire da soli per quale pubblico stai componendo il testo: i tecnici, ovviamente, capiranno sia termini complessi che parole specifiche; ma se proponi le stesse parole a un insegnante di lettere, difficilmente ti capirà.

Il talento è una grande cosa. Se hai talento (e non ci sono persone senza abilità), molte strade si aprono davanti a te. Ma il talento non sta nella complessità, ma nella semplicità, stranamente. Mantieni le cose semplici e i tuoi talenti saranno chiari e accessibili a tutti.

Video sull'argomento

Imparare a semplificare le espressioni in matematica è semplicemente necessario per risolvere correttamente e rapidamente problemi e varie equazioni. Semplificare un'espressione comporta la riduzione del numero di passaggi, il che rende i calcoli più semplici e fa risparmiare tempo.

Istruzioni

Impara a calcolare le potenze di c. Moltiplicando le potenze c si ottiene un numero la cui base è la stessa e si sommano gli esponenti b^m+b^n=b^(m+n). Dividendo le potenze con le stesse basi si ottiene la potenza di un numero la cui base rimane la stessa e si sottraggono gli esponenti delle potenze e si sottrae l'esponente del divisore b^m all'esponente del dividendo : b^n=b^(m-n). Elevando una potenza a potenza si ottiene la potenza di un numero la cui base rimane la stessa e gli esponenti vengono moltiplicati (b^m)^n=b^(mn) Elevando a potenza ogni fattore è elevato a questo potere. (abc)^m=a^m *b^m*c^m

Polinomi fattoriali, ad es. immaginateli come il prodotto di diversi fattori: polinomi e monomi. Togli il fattore comune tra parentesi. Impara le formule di moltiplicazione abbreviate di base: differenza di quadrati, somma quadrata, differenza quadrata, somma di cubi, differenza di cubi, cubo di somma e differenza. Ad esempio, m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Queste formule sono le principali per semplificare le espressioni. Utilizza il metodo per isolare un quadrato perfetto in un trinomio della forma ax^2+bx+c.

Abbrevia le frazioni il più spesso possibile. Ad esempio, (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Ma ricorda che puoi solo ridurre i moltiplicatori. Se il numeratore e il denominatore di una frazione algebrica vengono moltiplicati per lo stesso numero diverso da zero, il valore della frazione non cambierà. Esistono due modi per trasformare le espressioni razionali: per catena e per azioni. Il secondo metodo è preferibile, perché è più semplice verificare i risultati delle azioni intermedie.

Spesso è necessario estrarre le radici nelle espressioni. Le radici pari vengono estratte solo da espressioni o numeri non negativi. Le radici dispari possono essere estratte da qualsiasi espressione.

Fonti:

• semplificazione delle espressioni con poteri

Una “espressione” in matematica di solito si riferisce a un insieme di operazioni aritmetiche e algebriche che coinvolgono numeri e valori variabili. Per analogia con il formato di scrittura dei numeri, tale insieme è chiamato “frazionario” nel caso in cui contenga l'operazione di divisione. Le operazioni di semplificazione si applicano alle espressioni frazionarie, nonché ai numeri in formato frazione.

Istruzioni

Inizia trovando il fattore comune per , che sta al numeratore e - questo è lo stesso sia per i rapporti numerici che per quelli contenenti variabili sconosciute. Ad esempio, se il numeratore è 45*X e il denominatore è 18*Y, il massimo comun divisore è 9. Dopo aver completato questo passaggio, il numeratore può essere scritto come 9*5*X e il denominatore come 9*2* Y.

Se le espressioni al numeratore e al denominatore contengono una combinazione di operazioni matematiche di base (divisione, addizione e sottrazione), allora dovrai prima fattorizzare il divisore comune per ciascuna di esse separatamente, quindi isolare il massimo divisore comune da queste numeri. Ad esempio, per l'espressione 45*X+180, che è al numeratore, il fattore 45 dovrebbe essere tolto tra parentesi: 45*X+180 = 45*(X+4). E l'espressione 18+54*Y al denominatore deve essere ridotta alla forma 18*(1+3*Y). Quindi, come nel passaggio precedente, trova il massimo comun divisore dei fattori presi tra parentesi: 45*X+180 / 18+54*Y = 45*(X+4) / 18*(1+3*Y) = 9*5* (X+4) / 9*2*(1+3*Y). Anche in questo esempio è uguale a nove.

Riduci il fattore comune delle espressioni al numeratore e al denominatore della frazione trovata nei passaggi precedenti. Per l'esempio del primo passaggio, l'intera operazione di semplificazione può essere scritta come segue: 45*X / 18*Y = 9*5*X / 9*2*Y = 5*X / 2*Y.

Semplificando, il divisore comune da ridurre non deve essere necessariamente un numero; può anche essere un'espressione contenente una variabile. Ad esempio, se il numeratore di una frazione è (4*X + X*Y + 12 + 3*Y) e il denominatore è (X*Y + 3*Y - 7*X - 21), allora il massimo comune divisore sarà l'espressione X+ 3, che va ridotta per semplificare l'espressione: (4*X + X*Y + 12 + 3*Y) / (X*Y + 3*Y - 7*X - 21) = ( X+3)*(4 +Y) / (X+3)*(Y-7) = (4+Y) / (Y-7).