U ovoj lekciji ćemo pogledati još dvije operacije s vektorima: unakrsni proizvod vektora i mješoviti proizvod vektora (odmah link za one kojima treba). U redu je, ponekad se desi da za potpunu sreću, pored tačkasti proizvod vektora, potrebno je sve više i više. Takva je vektorska ovisnost. Može se steći utisak da ulazimo u džunglu analitičke geometrije. Ovo nije istina. U ovom dijelu više matematike općenito ima malo drva za ogrjev, osim možda dovoljno za Pinokija. Zapravo, materijal je vrlo uobičajen i jednostavan - jedva teži od istog skalarni proizvod, čak će biti i manje tipičnih zadataka. Glavna stvar u analitičkoj geometriji, kao što će mnogi vidjeti ili su već vidjeli, je NE POGREŠITI PRORAČUN. Ponovite kao čaroliju i bićete sretni =)

Ako vektori svjetlucaju negdje daleko, kao munja na horizontu, nije važno, počnite s lekcijom Vektori za lutke obnoviti ili ponovo steći osnovno znanje o vektorima. Spremniji čitatelji mogu se selektivno upoznati s informacijama, pokušao sam prikupiti najpotpuniju zbirku primjera koji se često nalaze u praktičnom radu

Šta će vas usrećiti? Kada sam bila mala, znala sam da žongliram sa dve, pa čak i sa tri lopte. Dobro je ispalo. Sada nema potrebe za žongliranjem, jer ćemo razmotriti samo svemirski vektori, a ravni vektori sa dvije koordinate će biti izostavljeni. Zašto? Tako su se ove radnje rodile - vektor i mješoviti proizvod vektora su definirani i rade u trodimenzionalnom prostoru. Već lakše!

U ovoj operaciji, na isti način kao u skalarnom proizvodu, dva vektora. Neka to budu neprolazna slova.

Sama akcija označeno na sledeći način: . Postoje i druge opcije, ali sam unakrsni proizvod vektora označavao na ovaj način, u uglastim zagradama sa krstom.

I to odmah pitanje: ako je u tačkasti proizvod vektora dva vektora su uključena, a ovdje se dva vektora također množe koja je razlika? Jasna razlika, prije svega, u REZULTATU:

Rezultat skalarnog proizvoda vektora je BROJ:

Rezultat unakrsnog proizvoda vektora je VEKTOR: , odnosno množimo vektore i ponovo dobijamo vektor. Zatvoren klub. Zapravo, otuda i naziv operacije. U različitoj obrazovnoj literaturi oznake se također mogu razlikovati, koristit ću slovo .

Definicija unakrsnog proizvoda

Prvo će biti definicija sa slikom, zatim komentari.

Definicija: unakrsni proizvod nekolinearno vektori, uzeti ovim redoslijedom, pod nazivom VEKTOR, dužinašto je brojčano jednaka površini paralelograma, izgrađen na ovim vektorima; vektor ortogonalno na vektore, i usmjeren je tako da osnova ima pravu orijentaciju:

Analiziramo definiciju po kostima, ima dosta zanimljivih stvari!

Dakle, možemo istaći sljedeće važne tačke:

1) Izvorni vektori, označeni crvenim strelicama, po definiciji nije kolinearno. Bilo bi prikladno razmotriti slučaj kolinearnih vektora malo kasnije.

2) Vektori uzeti po strogom redu: – "a" se množi sa "biti", a ne "biti" do "a". Rezultat vektorskog množenja je VEKTOR, koji je označen plavom bojom. Ako se vektori pomnože obrnutim redoslijedom, onda ćemo dobiti vektor jednake dužine i suprotnog smjera (grimizna boja). Odnosno, jednakost .

3) Hajde da se sada upoznamo sa geometrijskim značenjem vektorskog proizvoda. Ovo je veoma važna tačka! DUŽINA plavog vektora (a samim tim i grimiznoga vektora) je numerički jednaka POVRŠINI paralelograma izgrađenog na vektorima. Na slici je ovaj paralelogram obojen crnom bojom.

Bilješka : crtež je shematski, i, naravno, nazivna dužina poprečnog proizvoda nije jednaka površini paralelograma.

Podsjećamo na jednu od geometrijskih formula: površina paralelograma jednaka je umnošku susjednih stranica i sinusa ugla između njih. Stoga, na osnovu prethodno navedenog, vrijedi formula za izračunavanje DUŽINE vektorskog proizvoda:

Naglašavam da se u formuli govori o DUŽINI vektora, a ne o samom vektoru. Šta je praktično značenje? A značenje je takvo da se u problemima analitičke geometrije površina paralelograma često nalazi kroz koncept vektorskog proizvoda:

Dobijamo drugu važnu formulu. Dijagonala paralelograma (crvena tačkasta linija) dijeli ga na dva jednaka trougla. Stoga se površina trokuta izgrađenog na vektorima (crveno sjenčanje) može pronaći po formuli:

4) Jednako važna činjenica je da je vektor ortogonan na vektore , tj . Naravno, suprotno usmjereni vektor (grimizna strelica) je također ortogonan na originalne vektore.

5) Vektor je usmjeren tako da osnovu Ima u pravu orijentacija. U lekciji o prelazak na novu osnovu O tome sam detaljno govorio orijentacija u ravni, a sada ćemo shvatiti kakva je orijentacija prostora. Na prste ću ti objasniti desna ruka. Mentalno kombinujte kažiprst sa vektorom i srednji prst sa vektorom. Domaći prst i mali prst pritisnite u svoj dlan. Kao rezultat thumb- vektorski proizvod će tražiti gore. Ovo je desno orijentisana osnova (na slici). Sada zamijenite vektore ( kažiprst i srednji prst) na nekim mjestima, kao rezultat toga, palac će se okrenuti, a vektorski proizvod će već gledati prema dolje. Ovo je takođe prava orijentisana osnova. Možda imate pitanje: na kojoj osnovi je lijeva orijentacija? "Dodijelite" iste prste lijeva ruka vektori i dobiju lijevu bazu i orijentaciju lijevog prostora (u ovom slučaju, palac će biti lociran u smjeru donjeg vektora). Slikovito rečeno, ove baze „uvijaju“ ili usmjeravaju prostor u različitim smjerovima. I ovaj koncept ne treba smatrati nečim nategnutim ili apstraktnim - na primjer, najobičnije ogledalo mijenja orijentaciju prostora, a ako "izvučete reflektirani objekt iz ogledala", onda općenito neće biti moguće kombinujte ga sa "originalom". Usput, prinesi tri prsta ogledalu i analiziraj odraz ;-)

... kako je dobro što sada znaš desno i lijevo orijentisan baze, jer su izjave nekih predavača o promeni orijentacije strašne =)

Vektorski proizvod kolinearnih vektora

Definicija je detaljno razrađena, ostaje da se otkrije šta se dešava kada su vektori kolinearni. Ako su vektori kolinearni, onda se mogu postaviti na jednu ravnu liniju i naš paralelogram se također "preklapa" u jednu pravu liniju. Područje takvog, kako kažu matematičari, degenerisati paralelogram je nula. Isto proizlazi iz formule - sinus nula ili 180 stepeni jednak je nuli, što znači da je površina nula

Dakle, ako , onda i . Imajte na umu da je sam unakrsni proizvod jednak nultom vektoru, ali u praksi se to često zanemaruje i piše da je i on jednak nuli.

Poseban slučaj je vektorski proizvod vektora i samog sebe:

Koristeći unakrsni proizvod, možete provjeriti kolinearnost trodimenzionalnih vektora, a mi ćemo, između ostalog, analizirati i ovaj problem.

Za rješavanje praktičnih primjera može biti potrebno trigonometrijska tabela da se iz njega pronađu vrijednosti sinusa.

Pa, zapalimo vatru:

Primjer 1

a) Nađite dužinu vektorskog proizvoda vektora if

b) Nađite površinu paralelograma izgrađenog na vektorima ako

Rješenje: Ne, ovo nije greška u kucanju, namjerno sam napravio iste početne podatke u stavkama uslova. Jer će dizajn rješenja biti drugačiji!

a) Prema uslovu, potrebno je pronaći dužina vektor (vektorski proizvod). Prema odgovarajućoj formuli:

Odgovori:

Pošto je postavljeno pitanje o dužini, onda u odgovoru navodimo dimenziju - jedinice.

b) Prema uslovu, potrebno je pronaći kvadrat paralelogram izgrađen na vektorima. Površina ovog paralelograma brojčano je jednaka dužini poprečnog proizvoda:

Odgovori:

Napominjemo da u odgovoru o vektorskom proizvodu uopće nema govora, o čemu su nas pitali područje figure, odnosno, dimenzija je kvadratna jedinica.

Uvek gledamo ŠTA je potrebno da se nađe uslovom i, na osnovu toga, formulišemo jasno odgovori. Možda se čini kao bukvalnost, ali među nastavnicima ima dovoljno literalista i zadatak će se vratiti na reviziju sa dobrim izgledima. Iako ovo nije posebno nategnuto prigovaranje - ako je odgovor netačan, onda se stiče utisak da osoba ne razumije jednostavne stvari i/ili nije razumjela suštinu zadatka. Taj trenutak treba uvijek držati pod kontrolom, rješavajući bilo koji problem iz više matematike, ali i iz drugih predmeta.

Gdje je nestalo veliko slovo "en"? U principu, moglo bi se dodatno zaglaviti u rješenju, ali da bih skratio zapis, nisam to učinio. Nadam se da svi to razumiju i da je oznaka iste stvari.

Popularan primjer rješenja uradi sam:

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Formula za pronalaženje površine trokuta kroz vektorski proizvod data je u komentarima na definiciju. Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

U praksi je zadatak zaista vrlo čest, trokuti se generalno mogu mučiti.

Za rješavanje ostalih problema potrebno nam je:

Svojstva unakrsnog proizvoda vektora

Već smo razmotrili neka svojstva vektorskog proizvoda, međutim, uključit ću ih u ovu listu.

Za proizvoljne vektore i proizvoljan broj, sljedeća svojstva su tačna:

1) U drugim izvorima informacija ova stavka se obično ne razlikuje u svojstvima, ali je u praktičnom smislu veoma važna. Neka bude.

2) - o imovini se također govori gore, ponekad se naziva antikomutativnost. Drugim riječima, redoslijed vektora je bitan.

3) - kombinacija ili asocijativni zakoni o vektorskim proizvodima. Konstante se lako izvlače iz granica vektorskog proizvoda. Stvarno, šta oni tamo rade?

4) - distribucija ili distribucija zakoni o vektorskim proizvodima. Nema problema ni sa otvaranjem zagrada.

Kao demonstraciju, razmotrite kratak primjer:

Primjer 3

Pronađite ako

Rješenje: Po uslovu, opet je potrebno pronaći dužinu vektorskog proizvoda. Oslikajmo našu minijaturu:

(1) Prema asocijativnim zakonima izvlačimo konstante izvan granica vektorskog proizvoda.

(2) Konstantu vadimo iz modula, dok modul „jede“ znak minus. Dužina ne može biti negativna.

(3) Ono što slijedi je jasno.

Odgovori:

Vrijeme je da se baci drva na vatru:

Primjer 4

Izračunajte površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Rješenje: Pronađite površinu trokuta koristeći formulu . Problem je u tome što su vektori "ce" i "te" sami predstavljeni kao sume vektora. Algoritam je ovdje standardan i donekle podsjeća na primjere br. 3 i 4 iz lekcije. Tačkasti proizvod vektora. Podijelimo to u tri koraka radi jasnoće:

1) U prvom koraku izražavamo vektorski proizvod kroz vektorski proizvod, zapravo, izraziti vektor u terminima vektora. Još nema reči o dužini!

(1) Zamjenjujemo izraze vektora .

(2) Koristeći distributivne zakone, otvorite zagrade prema pravilu množenja polinoma.

(3) Koristeći asocijativne zakone, izvlačimo sve konstante izvan vektorskih proizvoda. Uz malo iskustva, radnje 2 i 3 mogu se izvoditi istovremeno.

(4) Prvi i posljednji član jednaki su nuli (nulti vektor) zbog ugodnog svojstva . U drugom terminu koristimo svojstvo antikomutativnosti vektorskog proizvoda:

(5) Predstavljamo slične pojmove.

Kao rezultat toga, pokazalo se da je vektor izražen kroz vektor, što je i bilo potrebno da se postigne:

2) U drugom koraku nalazimo dužinu vektorskog proizvoda koji nam je potreban. Ova radnja je slična primjeru 3:

3) Pronađite površinu traženog trokuta:

Koraci 2-3 rješenja mogu biti raspoređeni u jedan red.

Odgovori:

Razmatrani problem je prilično čest u testovima, evo primjera za nezavisno rješenje:

Primjer 5

Pronađite ako

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije. Da vidimo koliko ste bili pažljivi kada ste proučavali prethodne primjere ;-)

Unakrsni proizvod vektora u koordinatama

Formula je zaista jednostavna: koordinatne vektore upisujemo u gornji red determinante, koordinate vektora „pakujemo“ u drugi i treći red i stavljamo u strogom redu- prvo koordinate vektora "ve", zatim koordinate vektora "double-ve". Ako se vektori trebaju pomnožiti drugim redoslijedom, tada treba zamijeniti i linije:

Primjer 10

Provjerite jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:
a)
b)

Rješenje: Test se zasniva na jednoj od izjava u ovoj lekciji: ako su vektori kolinearni, onda je njihov unakrsni proizvod nula (nulti vektor): .

a) Pronađite vektorski proizvod:

Dakle, vektori nisu kolinearni.

b) Pronađite vektorski proizvod:

Odgovori: a) nije kolinearan, b)

Ovdje su, možda, sve osnovne informacije o vektorskom proizvodu vektora.

Ovaj odjeljak neće biti jako velik, jer postoji nekoliko problema gdje se koristi mješoviti proizvod vektora. Zapravo, sve će počivati ​​na definiciji, geometrijskom značenju i nekoliko radnih formula.

Mješoviti proizvod vektora je proizvod tri vektora:

Ovako su se poređali kao voz i čekaju, jedva čekaju dok se ne obračunaju.

Prvo opet definicija i slika:

Definicija: Mješoviti proizvod nekoplanarni vektori, uzeti ovim redoslijedom, zove se zapremine paralelepipeda, izgrađen na ovim vektorima, opremljen znakom "+" ako je osnova desna i znakom "-" ako je osnova lijeva.

Hajde da crtamo. Linije koje su nama nevidljive iscrtane su isprekidanom linijom:

Uronimo u definiciju:

2) Vektori uzeti određenim redosledom, odnosno permutacija vektora u proizvodu, kao što možete pretpostaviti, ne prolazi bez posljedica.

3) Prije nego što komentiram geometrijsko značenje, primijetit ću očiglednu činjenicu: mješoviti proizvod vektora je BROJ: . U obrazovnoj literaturi dizajn može biti nešto drugačiji, ja sam označavao mješoviti proizvod kroz, a rezultat proračuna slovom "pe".

Po definiciji mješoviti proizvod je zapremina paralelepipeda, izgrađen na vektorima (figura je nacrtana crvenim vektorima i crnim linijama). To jest, broj je jednak zapremini datog paralelepipeda.

Bilješka : Crtež je šematski.

4) Nemojmo se opet zamarati konceptom orijentacije osnove i prostora. Značenje završnog dijela je da se volumenu može dodati znak minus. Jednostavno rečeno, mješoviti proizvod može biti negativan: .

Formula za izračunavanje volumena paralelepipeda izgrađenog na vektorima slijedi direktno iz definicije.

Prvo, prisjetimo se što je vektorski proizvod.

Napomena 1

vektorska umjetnost za $\vec(a)$ i $\vec(b)$ je $\vec(c)$, što je neki treći vektor $\vec(c)= ||$, a ovaj vektor ima posebna svojstva:

• Skalar rezultujućeg vektora je proizvod $|\vec(a)|$ i $|\vec(b)|$ puta sinusa ugla $\vec(c)= ||= |\vec(a )| \cdot |\vec(b)|\cdot \sin α \left(1\right)$;
• Svi $\vec(a), \vec(b)$ i $\vec(c)$ formiraju desnu trojku;
• Rezultirajući vektor je ortogonan na $\vec(a)$ i $\vec(b)$.

Ako postoje neke koordinate za vektore ($\vec(a)=\(x_1; y_1; z_1\)$ i $\vec(b)= \(x_2; y_2; z_2\)$), onda je njihov vektorski proizvod u Kartezijanski koordinatni sistem se može odrediti formulom:

$ = \(y_1 \cdot z_2 - y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 - z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1\)$

Najlakši način da zapamtite ovu formulu je da je napišete u obliku determinante:

$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end(array)$.

Ova formula je prilično zgodna za korištenje, ali da biste razumjeli kako je koristiti, prvo se morate upoznati s temom matrica i njihovih determinanti.

Područje paralelograma, čije su stranice definirane sa dva vektora $\vec(a)$ i $vec(b)$ je jednaka na skalar unakrsnog proizvoda data dva vektora.

Ovaj omjer je prilično lako izvesti.

Prisjetite se formule za pronalaženje površine običnog paralelograma, koji se može okarakterizirati njegovim segmentima $a$ i $b$:

$S = a \cdot b \cdot \sin α$

U ovom slučaju, dužine stranica su jednake skalarnim vrijednostima vektora $\vec(a)$ i $\vec(b)$, što je sasvim prikladno za nas, odnosno skalar vektorski proizvod ovih vektora će biti površina figure koja se razmatra.

Primjer 1

Dati vektori $\vec(c)$ sa koordinatama $\(5;3; 7\)$ i vektor $\vec(g)$ sa koordinatama $\(3; 7;10 \)$ u Dekartovim koordinatama. Pronađite površinu paralelograma koji čine $\vec(c)$ i $\vec(g)$.

Rješenje:

Pronađite vektorski proizvod za ove vektore:

$ = \begin(niz) (|ccc|) i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \end(niz)= i \cdot \begin(niz) (|cc |) 3 & 7 \\ 7 & 10 \\ \end(niz) - j \cdot \begin(niz) (|cc|) 5 & 7 \\ 3 & 10 \\ \end(niz) + k \cdot \begin(niz) (|cc|) 5 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end(niz) = i \cdot (3 \cdot 10 - 49) - j \cdot (50 -21) + k \cdot (35-9) = -19i -29j + 26k=\(- 19; 29; 26\)$.

Sada pronađimo modularnu vrijednost za rezultirajući usmjereni segment, to je vrijednost površine konstruiranog paralelograma:

$S= \sqrt(|19|^2 + |29|^2 + |26|^2) = \sqrt(1878) ≈ 43,34$.

Ova linija rasuđivanja vrijedi ne samo za pronalaženje područja u 3-dimenzionalnom prostoru, već i za dvodimenzionalni prostor. Pogledajte sljedeće pitanje na ovu temu.

Primjer 2

Izračunajte površinu paralelograma ako su njegovi generirajući segmenti dati vektorima $\vec(m)$ sa koordinatama $\(2; 3\)$ i $\vec(d)$ sa koordinatama $\(-5; 6\)$.

Rješenje:

Ovaj problem je poseban primjer problema 1, riješenog gore, ali oba vektora leže u istoj ravni, što znači da se treća koordinata, $z$, može uzeti kao nula.

Da sumiramo gore navedeno, površina paralelograma će biti:

$S = \begin(niz) (||cc||) 2 & 3\\ -5 & 6 \\ \end(niz) = \sqrt(12 + 15) =3 \sqrt3$.

Primjer 3

Zadati vektori $\vec(a) = 3i – j + k; \vec(b)=5i$. Pronađite površinu paralelograma koji formiraju.

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = (3i - j + k) \times 5i = 15 - 5 + $

Pojednostavimo prema datoj tabeli za jedinične vektore:

Slika 1. Dekompozicija vektora u smislu baze. Author24 - online razmjena studentskih radova

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = 5 k + 5 j$.

Vrijeme izračunavanja:

$S = \sqrt(|-5|^2 + |5|^2) = 5\sqrt(2)$.

Prethodni problemi su se odnosili na vektore čije su koordinate date u Dekartovom koordinatnom sistemu, ali razmotrite i slučaj ako se ugao između baznih vektora razlikuje od $90°$:

Primjer 4

Vektor $\vec(d) = 2a + 3b$, $\vec(f)= a – 4b$, dužine $\vec(a)$ i $\vec(b)$ su jednake jedna drugoj i jednak jedan, a ugao između $\vec(a)$ i $\vec(b)$ je 45°.

Rješenje:

Izračunajmo vektorski proizvod $\vec(d) \times \vec(f)$:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= (2a + 3b) \times (a - 4b) = 2 - 8 + 3 - 12 $.

Za vektorske proizvode, prema njihovim svojstvima, vrijedi sljedeće: $$ i $$ jednaki su nuli, $ = - $.

Iskoristimo ovo da pojednostavimo:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= -8 + 3 = -8 - 3 = -11$.

Sada koristimo formulu $(1)$:

$[\vec(d) \times \vec(f) ] = |-11 | = 11 \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=5.5$.

Površina paralelograma izgrađenog na vektorima jednaka je proizvodu dužina ovih vektora i kuta ugla koji leži između njih.

Dobro je kada su dužine ovih istih vektora date prema uslovima. Međutim, dešava se i da je formulu za površinu paralelograma izgrađenog na vektorima moguće primijeniti tek nakon izračuna na koordinatama.
Ako imate sreće, a dužine vektora su date prema uvjetima, onda samo trebate primijeniti formulu, koju smo već detaljno analizirali u članku. Površina će biti jednaka umnošku modula i sinusa ugla između njih:

Razmotrimo primjer izračunavanja površine paralelograma izgrađenog na vektorima.

zadatak: Paralelogram je izgrađen na vektorima i . Pronađite područje ako , i kut između njih je 30°.
Izrazimo vektore u smislu njihovih vrijednosti:

Možda imate pitanje - odakle su došle nule? Vrijedi zapamtiti da radimo s vektorima i za njih . također imajte na umu da ako dobijemo izraz kao rezultat, onda će on biti pretvoren u. Sada napravimo konačne proračune:

Vratimo se na problem kada dužine vektora nisu specificirane u uslovima. Ako vaš paralelogram leži u Dekartovom koordinatnom sistemu, onda morate da uradite sledeće.

Izračunavanje dužina stranica figure datih koordinatama

Za početak pronalazimo koordinate vektora i oduzimamo odgovarajuće početne koordinate od krajnjih koordinata. Pretpostavimo koordinate vektora a (x1;y1;z1), i vektora b (x3;y3;z3).
Sada ćemo pronaći dužinu svakog vektora. Da biste to učinili, svaka koordinata mora biti kvadrirana, zatim dodajte rezultate i izvucite korijen iz konačnog broja. Prema našim vektorima biće napravljeni sljedeći proračuni:


Sada moramo pronaći tačkasti proizvod naših vektora. Da bi se to učinilo, njihove odgovarajuće koordinate se množe i sabiraju.

S obzirom na dužine vektora i njihov skalarni proizvod, možemo pronaći kosinus ugla koji leži između njih .
Sada možemo pronaći sinus istog ugla:
Sada imamo sve potrebne količine i lako možemo pronaći površinu paralelograma izgrađenog na vektorima koristeći već poznatu formulu.