Изменение количества движения механической системы. Теорема об изменении количества движения материальной точки Теорема о количестве движения точки

Количество движения мерой механического движения, если механическое движение перейдет в механическое. Например, механическое движение бильярдного шара (рис. 22) до удара переходит в механическое движение шаров после удара. Для точки количество движения равно произведению .

Мерой действия силы в этом случае является импульс силы

. (9.1)

Импульс определяет действие силы за промежуток времени. Для материальной точки теорему об изменении количества движения можно использовать в дифференциальной форме
(9.2) или интегральной (конечной) форме
. (9.3)

Изменение количества движения материальной точки за какой-то промежуток времени равно импульсу всех сил, приложенных к точке за то же время.

Рисунок 22

При решении задач теорема (9.3) чаще используется в проекциях на координатные оси
;

; (9.4)

.

С помощью теоремы об изменении количества движения точки можно решать задачи, в которых на точку или тело, движущееся поступательно, действуют силы постоянные или переменное, зависящие от времени, а в число заданных и искомых величин входят время движения и скорости в начале и конце движения. Задачи с применением теоремы решаются следующей последовательности:

1. выбирают систему координат;

2. изображают все действующие на точку заданные (активные) силы и реакции;

3. записывают теорему об изменении количества движения точки в проекциях на выбранные оси координат;

4. определяют искомые величины.

ПРИМЕР 12.

Молот весом G=2т падает с высоты h=1м на заготовку за время t=0,01с и производит штамповку детали (рис. 23). Определить среднюю силу давления молота на заготовку.

Изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил, Действующих за то же время. Иногда удобнее пользоваться теоремой об изменении количества движения в проекции на оси координат
; (9.8)
. (9.9)

Закон сохранения количества движения устанавливает, что при отсутствии внешних сил количество движения механической системы остается постоянным. Действие внутренних сил не может изменить количества движения системы. Из уравнения (9.6) видно, что при
,
.

Если
, то
или
.

Д

гребного винта или пропеллера, реактивного движения. Кальмары движутся рывками, выбрасывая воду из мускульного мешка по принципу водомета (рис. 25). Отталкиваемая вода обладает известным количеством движения, направленным назад. Кальмар получает при этом соответствующую скорость движения вперед за счет реактивной силы тяги, так как перед выпрыгиванием кальмара силауравновешивается силой тяжести.

Применение теоремы об изменении количества движения позволяет исключить из рассмотрения все внутренние силы.

ПРИМЕР 13.

На железнодорожной платформе, свободно стоящей на рельсах, установлена лебедка А с барабаном радиуса r (рис. 26). Лебедка предназначена для перемещения по платформе груза В массой m 1 . Масса платформы с лебедкой m 2 . Барабан лебедки вращается по закону
. В начальный момент времени система была подвижна. Пренебрегая трением, найти закон изменения скорости платформы после включения лебедки.

РЕШЕНИЕ.

1. Рассмотрим платформу, лебедку и груз как единую механическую систему, на которую действуют внешние силы: сила тяжести груза и платформыи реакциии
.

2. Так как все внешние силы перпендикулярны оси х, т.е.
, применим закон сохранения количества движения механической системы в проекции на ось х:
. В начальный момент времени система была неподвижна, следовательно,

Выразим количество движения системы в произвольный момент времени. Платформа движется поступательно со скоростью , груз совершает сложное движение, состоящее из относительного движения по платформе со скоростьюи переносного движения вместе с платформой со скоростью., откуда
. Платформа будет перемещаться в сторону, противоположную относительному движению груза.

ПРИМЕР 14.

где ,
-- количество движения пластины и груза соответственно.

;
, где--абсолютная скорость грузаD. Из равенства (1) следует, что К 1х +К 2х =С 1 или m 1 u x +m 2 V Dx =C 1 . (2) Для определения V Dx рассмотрим движение груза D как сложное, считая его движение по отношению к пластине относительным, а движение самой пластины переносным, тогда
, (3)
;или в проекции на ось х:. (4) Подставим (4) в (2):
. (5) Постоянную интегрирования С 1 определим из начальных условий: при t=0 u=u 0 ; (m 1 +m 2)u 0 =C 1 . (6) Подставляя значение постоянной С 1 в уравнение (5), получаем

м/с.

Теорема об изменении количества движения точки

Так как масса точки постоянна, а ее ускорение то уравне­ние, выражающее основной закон динамики, можно представить в виде

Уравнение выражает одновременно теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения точки равна геометрической сумме действующих на точку сил.

Проинтегрируем это уравнение. Пусть точка массы m , движущаяся под действием силы (рис.15), имеет в момент t =0 скорость , а в момент t 1 -скорость .

Рис.15

Умножим тогда обе части равенства на и возь­мем от них определенные интегралы. При этом справа, где интегри­рование идет по времени, пределами интегралов будут 0 и t 1 , а слева, где интегрируется скорость, пределами интеграла будут соответствую­щие значения скорости и . Так как интеграл от равен , то в результате получим:

.

Стоящие справа интегралы пред­ставляют собою импульсы действующих сил. Поэтому окончательно будем иметь:

.

Уравнение выражает теорему об изменении коли­чества движения точки в конечном виде: изменение коли­чества движения точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени (рис. 15).

При решении задач вместо векторного уравнения часто пользуются уравнениями в проекциях.

В случае прямолинейного движения, происходящего вдоль оси Ох теорема выражается первым из этих уравнений.

Пример 9. Найти закон движения материальной точки массы m , движущейся вдоль оси х под действием постоянной по модулю силы F (рис. 16) при начальных условиях: , при .

Рис.16

Решение. Составим дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось х : . Интегрируя это уравнение, находим: . Постоянная определяется из начального условия для скорости и равна . Окончательно

.

Далее, учитывая, что v = dx/ dt , приходим к дифференциальному уравнению: , интегрируя которое получаем

Постоянную определяем из начального условия для координаты точки. Она равна . Следовательно, закон движения точки имеет вид

Пример 10 . Груз веса Р (рис.17) начинает двигаться из состояния покоя вдоль гладкой горизонтальной плоскости под действием силы F = kt . Найти закон движения груза.

Рис.17

Решение. Выберем начало отсчета системы координат О в начальном положении груза и направим ось х в сторону движения (рис. 17). Тогда начальные условия имеют вид: x (t = 0) = 0,v(t = 0) = 0. На груз действуют силы F, P и сила реакции плоскости N . Проекции этих сил на ось х имеют значения F x = F = kt , Р x = 0, N x = 0, поэтому соответствующее уравнение движения можно записать так: . Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении и затем интегрируя, получим: v = g kt 2 /2P + C 1 . Подставляя начальные данные (v (0) = 0), находим, чтоC 1 = 0, и получаем закон изменения скорости .

Последнее выражение, в свою очередь, является дифференциальным уравнением, интегрируя которое найдем закон движения материальной точки: . Входящую сюда постоянную определяем из второго начального условия х (0) = 0. Легко убедиться, что . Окончательно

Пример 11. На груз, находящийся в покое на горизонтальной гладкой плоскости (см. рис. 17) на расстоянии a от начала координат, начинает действовать в положительном направлении осиx сила F = k 2 (P /g )x , где Р – вес груза. Найти закон движения груза.

Решение. Уравнение движения рассматриваемого груза (материальной точки) в проекции на ось х

Начальные условия уравнения (1) имеют вид: x (t = 0) = a , v(t = 0) = 0.

Входящую в уравнение (1) производную по времени от скорости представим так

.

Подставляя это выражение в уравнение (1) и сокращая на (P /g ), получим

Разделяя переменные в последнем уравнении, находим, что . Интегрируя последнее, имеем: . Используя начальные условия , получаем , и, следовательно,

, . (2)

Поскольку сила действует на груз в положительном направлении оси х , то ясно, что в том же направлении он должен и двигаться. Поэтому в решении (2) следует выбрать знак "плюс". Заменяя дальше во втором выражении (2) на , получаем дифференциальное уравнение для определения закона движения груза. Откуда, разделяя переменные, имеем

.

Интегрируя последнее, находим: . После нахождения постоянной окончательно получаем

Пример 12. Шар M массы m (рис.18) падает без начальной скорости под действием силы тяжести. При падении шар испытывает сопротивление , где – постоянный коэффициент сопротивления. Найти закон движения шара.

Рис.18

Решение. Введем систему координат с началом в точке местоположения шара при t = 0, направив ось у вертикально вниз (рис. 18). Дифференциальное уравнение движения шара в проекции на ось у имеет тогда вид

Начальные условия для шара записываются так: y (t = 0) = 0, v(t = 0) = 0.

Разделяя переменные в уравнении (1)

и интегрируя, находим: , где . Или после нахождения постоянной

или . (2)

Отсюда следует, что предельная скорость, т.е. скорость при , равна .

Чтобы найти закон движения, заменим в уравнении (2) v на dy/ dt . Тогда, интегрируя полученное уравнение с учетом начального условия, окончательно находим

.

Пример 13. Научно-исследо­ватель­ская подводная лодка шарообразной формы и массы m = = 1.5×10 5 кг начинает погружаться с выключенными двигателями, имея горизонтальную скорость v х 0 = 30 м/с и отрицательную плавучесть Р 1 = 0.01mg , где – векторная сумма архимедовой выталкивающей силы Q и силы тяжести mg , действующих на лодку (рис. 20). Сила сопротивления воды , кг/с . Определить уравнения движения лодки и ее траекторию.

Дифференциальное уравнение движения материальной точки под действием силы F можно представить в следующей векторной форме:

Так как масса точки m принята постоянной, то её можно внести под знак производной. Тогда

Формула (1) выражает теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: первая производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе .

В проекциях на координатные оси (1) можно представить в виде

Если обе части (1) умножить на dt , то получим другую форму этой же теоремы – теорему импульсов в дифференциальной форме:

т.е. дифференциал от количества движения точки равен элементарному импульсу силы, действующей на точку.

Проецируя обе части (2) на координатные оси, получаем

Интегрируя обе части (2) в пределах от нуля до t (рис. 1), имеем

где - скорость точки в момент t ; - скорость при t = 0;

S - импульс силы за время t .

Выражение в форме (3) часто называют теоремой импульсов в конечной (или интегральной) форме: изменение количества движения точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу силы за тот же промежуток времени.

В проекциях на координатные оси эту теорему можно представить в следующем виде:

Для материальной точки теорема об изменении количества движения в любой из форм, по существу, не отличается от дифференциальных уравнений движения точки.

Теорема об изменении количества движения системы

Количеством движения системы будем называть векторную величину Q , равную геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех точек системы.

Рассмотрим систему, состоящую изn материальных точек. Составим для этой системы дифференциальные уравнения движения и сложим их почленно. Тогда получим:

Последняя сумма по свойству внутренних сил равна нулю. Кроме того,

Окончательно находим:

Уравнение (4) выражает теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

Найдём другое выражение теоремы. Пусть в момент t = 0 количество движения системы равно Q 0 , а в момент времени t 1 становится равным Q 1 . Тогда, умножая обе части равенства (4) на dt и интегрируя, получим:

Или , где:

(S- импульс силы)

так как интегралы, стоящие справа, дают импульсы внешних сил,

уравнение (5) выражает теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.

В проекциях на оси координат будем иметь:

Закон сохранения количества движения

Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить следующие важные следствия:

1. Пусть сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю:

Тогда из уравнения (4) следует, что при этом Q =const.

Таким образом, если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянен по 10модулю и направлению.

2. 01Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например Ох) равна нулю:

Тогда из уравнений (4`) следует, что при этом Q = const.

Таким образом, если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось есть величина постоянная.

Эти результаты и выражают закон сохранения количества движения системы. Из них следует, что внутренние силы изменить суммарное количество движения системы не могут.

Рассмотрим некоторые примеры:

· Я в л е н и е о т д а ч и и л и о т к а т а. Если рассматривать винтовку и пулю как одну систему, то давление пороховых газов при выстреле будет силой внутренней. Эта сила не может изменить суммарное количество движения системы. Но так как пороховые газы, действуя на пулю, сообщают ей некоторое количество движения, направленное вперед, то они одновременно должны сообщит винтовке такое же количество движения в обратном направлении. Это вызовет движение винтовки назад, т.е. так называемую отдачу. Аналогичное явление получается при стрельбе из орудия (откат).

· Р а б о т а г р е б н о г о в и н т а (п р о п е л л е р а). Винт сообщает некоторой массе воздуха (или воды) движение вдоль оси винта, отбрасывая эту массу назад. Если рассматривать отбрасываемую массу и самолет (или судно) как одну систему, то силы взаимодействия винта и среды как внутренние не могут изменить суммарное количество движения этой системы. Поэтому при отбрасывании массы воздуха (воды) назад самолет (или судно) получают соответствующую скорость движения вперед, такую, что общее количество движения рассматриваемой системы остается равным нулю, так как оно было нулем до начала движения.

Аналогичный эффект достигается действием весел или гребных колес.

· Р е а к т и в н о е д в и ж е н и е. В реактивном снаряде (ракете) газообразные продукты горения топлива с большой скоростью выбрасываются из отверстия в хвостовой части ракеты (из сопла реактивного двигателя). Действующие при этом силы давления будут силами внутренними и они не могут изменить суммарное количество движения системы ракета- пороховые газы. Но так как вырывающиеся газы имеют известное количество движения,направленное назад, то ракета получает при этом соответствующую скорость движения вперед.

Теорема моментов относительно оси.

Рассмотрим материальную точку массы m , движущуюся под действием силы F . Найдем для неё зависимость между моментом векторов mV и F относительно какой-нибудь неподвижной оси Z.

m z (F) = xF - уF (7)

Аналогично для величины m (mV) , если вынести m за скобку будет

m z (mV) = m(хV - уV) (7`)

Беря от обеих частей этого равенства производные по времени, находим

В правой части полученного выражения первая скобка равна 0, так как dx/dt=V и dу /dt = V , вторая же скобка согласно формуле (7) равна

m z (F) , так как по основному закону динамики:

Окончательно будем иметь (8)

Полученное уравнение выражает теорему моментов относительно оси: производная по времени от момента количества движения точки относительно какой-нибудь оси равна моменту действующей силы относительно той же оси. Аналогичная теорема имеет место и для моментов относительно любого центра О.

Количество движения системы, как векторная величина, определяется формулами (4.12) и (4.13).

Теорема. Производная от количества движения системы по времени равна геометрической сумме всех действующих на нее внешних сил.

В проекциях декартовые оси получим скалярные уравнения.

Можно записать векторное

(4.28)

и скалярные уравнения

Которые выражают теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов за тот же промежуток времени. При решении задач чаще используются уравнения (4.27)

Закон сохранения количества движения

Теорема об изменении кинетического момента

Теорема об изменении момента количества движения точки относительно центра: производная по времени от момента количества движения точки относительно неподвижного центра равна векторному моменту, действующей на точку силы относительно того же центра.

Или (4.30)

Сравнивая (4.23) и (4.30), видим, что моменты векторов и связаны такой же зависимостью, какой связаны сами векторы и (рис. 4.1). Если спроектировать равенство на ось , проходящую через центр О, то получим

(4.31)

Это равенство выражает теорему момента количества движения точки относительно оси.

(4.32)

Если спроектировать выражение (4.32) на ось , проходящей через центр О, то получим равенство, характеризующее теорему об изменении кинетического момента относительно оси.

(4.33)

Подставляя (4.10) в равенство (4.33) можно записать дифференциальное уравнение вращающегося твердого тела (колес, осей, валов, роторов и т.д.) в трех формах.

(4.34)

(4.35)

(4.36)

Таким образом, теорему об изменении кинетического момента целесообразно использовать для исследования весьма распространенного в технике движения твердого тела, его вращения вокруг неподвижной оси.

Закон сохранения кинетического момента системы

1. Пусть в выражении (4.32) .

Тогда из уравнения (4.32) следует, что , т.е. если сумма моментов всех приложенных к системе вешних сил относительно данного центра равно нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра будет численно и по направлению будет постоянен.

2. Если , то . Таким образом, если сумма моментов действующих на систему внешних сил относительно некоторой оси равна нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси будет величиной постоянной.

Эти результаты выражают собой закон сохранения кинетического момента.

В случае вращающегося твердого тела из равенства (4.34) следует, что, если , то . Отсюда приходим к следующим выводам:

Если система неизменяема (абсолютно твердое тело), то , следовательно, и и твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью.

Если система изменяема, то . При увеличении (тогда отдельные элементы системы удаляются от оси вращения) угловая скорость уменьшается, т.к. , а при уменьшении увеличивается, таким образом, в случае изменяемой системы с помощью внутренних сил можно изменить угловую скорость.

Вторая задача Д2 контрольной работы посвящена теореме об изменении кинетического момента системы относительно оси.

Задача Д2

Однородная горизонтальная платформа (круглая радиуса R или прямоугольная со сторонами R и 2R, где R = 1,2м) массой кг вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси z, отстоящей от центра масс C платформы на расстоянии OC = b (рис. Д2,0 – Д2,9, табл. Д2); размеры для всех прямоугольных платформ показаны на рис. Д2,0а (вид сверху).

В момент времени по желобу платформы начинает двигаться (под действием внутренних сил) груз D массой кг по закону , где s выражено в метрах, t - в секундах. Одновременно на платформы начинает действовать пара сил с моментом M (задан в ньютонометрах; при M < 0 его направление противоположно показанному на рисунках).

Определить, пренебрегая массой вала, зависимость т.е. угловую скорость платформы, как функцию времени.

На всех рисунках груз D показан в положении, при котором s > 0 (когда s < 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.

Указания. Задача Д2 – на применение теоремы об изменении кинетического момента системы. При применении теоремы к системе, состоящей из платформы и груза, кинетический момент системы относительно оси z определяется как сумма моментов платформы и груза. При этом следует учесть, что абсолютная скорость груза складывается из относительной и переносной скоростей, т.е. . Поэтому и количество движения этого груза . Тогда можно воспользоваться теоремой Вариньона (статика), согласно которой ; эти моменты вычисляются так же, как моменты сил. Подробнее ход решения разъяснен в примере Д2.

При решении задачи полезно изобразить на вспомогательном чертеже вид на платформу сверху (с конца z), как это сделано на рис. Д2,0,а – Д2,9, а.

Момент инерции пластины с массой m относительно оси Cz, перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр масс, равен: для прямоугольной пластины со сторонами и

;

Для круглой пластины радиуса R

Пример Д2 . Однородная горизонтальная платформа (прямоуголь­ная со сторонами 2l и l), имеющая массу жестко скреплена с вертикальным валом и вращается вместе с ним вокруг оси z с угло­вой скоростью (рис. Д2а). В момент времени на вал начинает действовать вращающий момент М, направленный противо­положно ; одновременно груз D массой , находящийся в желобе АВ в точке С, начинает двигаться по желобу (под действием внутрен­них сил) по закону s = CD = F(t).

Дано: m 1 = 16 кг, т 2 = 10 кг, l = 0,5 м, = 2 , s = 0,4t 2 (s - в метрах, t - в секундах), М = kt, где k =6 Нм/с. Опре­делить: - закон изменения угловой скорости платформы.

Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из плат­формы и груза D. Для определения w применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси z:

(1)

Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести реакции и вращающий момент M. Так как силы и параллельны оси z, а реакции и эту ось пересекают, то их моменты относительно оси z равны нулю. Тогда, считая для момента положительным направление (т. е. против хода часовой стрелки), получим и уравнение (1) примет такой вид.

Так как масса точки постоянна, а ее ускорение то уравнение (2), выражающее основной закон динамики, можно представить в виде

Уравнение (32) выражает одновременно теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения точки равна сумме действующих на точку сил

Пусть движущаяся точка имеет в момент времени скорость а в момент - скорость Умножим тогда обе части равенства (32) на и возьмем от них определенные интегралы. При этом справа, где интегрирование идет по времени, пределами интеграла будут а слева, где интегрируется скорость, пределами интеграла будут соответствующие значения скорости

Так как интеграл от равен то в результате получим

Стоящие справа интегралы, как следует из формулы (30), представляют собой импульсы действующих сил. Поэтому окончательно будет

Уравнение (33) выражает теорему об изменении количества движения точки в конечном виде: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

При решении задач вместо векторного уравнения (33) часто пользуются уравнениями в проекциях. Проектируя обе части равенства (33) на координатные оси, получим

В случае прямолинейного движения, происходящего вдоль оси теорема выражается первым из этих уравнений.

Решение задач. Уравнения (33) или (34) позволяют, зная как при движении точки изменяется ее скорость, определить импульс действующих сил (первая задача динамики) или, зная импульсы действующих сил, определить, как изменяется при движении скорость точки (вторая задача динамики). При решении второй задачи, когда заданы силы, надо вычислить их импульсы, Как видно из равенств (30) или (31), это можно сделать лишь тогда, когда силы постоянны или зависят только от времени.

Таким образом, уравнения (33), (34) можно непосредственно использовать для решения второй задачи динамики, когда в задаче в число данных и искомых величин входят: действующие силы, время движения точки и ее начальная и конечная скорости (т. е. величины ), причем силы должны быть постоянными или зависящими только от времени.

Задача 95. Точка, масса которой кг, движется по окружности с численно постоянной скоростью Определить импульс действующей на точку силы за время, в течение которого точка проходит четверть окружности

Решение. По теореме об изменении количества движения Строя геометрически разность этих количеств движения (рис. 222), находим из полученного прямоугольного треугольника

Но по условиям задачи следовательно,

Для аналитического подсчета можно, используя первые два из уравнений (34), найти

Задача 96. Грузу, имеющему массу и лежащему на горизонтальной плоскости, сообщают (толчком) начальную скорость Последующее движение груза тормозится постоянной силой F. Определить, через сколько времени груз остановится,

Решение. По данным задачи видно, что для определения времени движения можно воспользоваться доказанной теоремой. Изображаем груз в произвольном положении (рис. 223). На него действуют сила тяжести Р, реакция плоскости N и тормозящая сила F. Направляя ось в сторону движения, составляем первое из уравнений (34)

В данном случае - скорость в момент остановки), а . Из сил проекцию на ось дает только сила F. Так как она постоянна, то где - время торможения. Подставляя все эти данные в уравнение (а), получаем откуда искомое время