Движение тела переменной массы.Реактивное движение. Основы теоретической космонавтики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное агентство по образованию

________________

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра физики

Реферат

По теме: «Движение тела переменной массы»
Выполнил: студент И.О. Фамилия, гр. ____________ _________

Руководитель: должность, И.О. Фамилия _____________ _________

Сдана на проверку ________

Дата защиты ________ Оценка _________

Москва - 2012

Развитие опытных работ
МЕХАНИКА ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
-Уравнение Мещерского

Уравнение Циолковского
Реактивные двигатели
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение
В современной технике возникают случаи, когда масса точки и системы не остается постоянной в процессе движения, а изменяется. Так, например, при полете космических ракет, вследствие выбрасывания продуктов сгорания и отделения ненужных частей ракеты изменения массы достигают 90-95 % общей начальной величины. Довольно значительно изменяется масса при полете современных реактивных самолетов вследствие расхода топлива при работе двигателей и в ряде других случаев. Область практического применения механики тел переменной массы далеко не ограничивается реактивными аппаратами и ракетной техникой. Случаи движения тел, когда их масса меняется, можно указать в самых различных областях промышленности. Легко понять, например, что вращающееся веретено, на которое навивается нить, изменяет свою массу в процессе движения. Рулон бумаги, когда он разматывается на валу типографской машины, также даёт нам пример тела, масса которого уменьшается с течением времени. Многочисленные примеры движения тел, масса которых изменяется с течением времени, мы можем наблюдать и в природе. Например, масса Земли возрастает вследствие падения на неё метеоритов. Масса падающего метеорита, движущегося в атмосфере, убывает вследствие того, что частицы метеорита отрываются или сгорают. Плавающая льдина - пример тела, масса которого убывает вследствие таяния или возрастает вследствие намерзания. Масса Солнца возрастает от налипания "космической пыли" и уменьшается от излучения и т. д. Вообще изменение массы движущихся тел может происходить вследствие сгорания, испарения, растворения, намерзания, налипания, излучения и т. д.

Механика тел переменной массы имеет большое значение для правильного описания движения планет и особенно Луны. Сравнивая прежние наблюдения над Луной с собственными и наблюдениями современников, Галлей нашёл, что период обращения Луны вокруг Земли уменьшается. Это уменьшение означает увеличение средней скорости её движения по орбите. Влияние ускорения движения Луны на положение её на орбите возрастает с течением времени (пропорционально квадрату времени), и, таким образом, даже если оно и мало, его можно сравнительно легко обнаружить по прошествии больших промежутков времени. Уменьшение периода обращения Луны вокруг Земли составляет примерно полсекунды за 2000 лет. Частично, как показал Лаплас, величина ускорения может быть объяснена уменьшением эксцентриситета земной орбиты. Вторая часть векового ускорения зависит от изменения массы Земли и Луны, вызываемого падением на них метеоритов. Оказывается, что согласие наблюдений и вычислений получается хорошим, если допустить, что радиус Земли возрастает от массы падающих метеоритов на 0,5 миллиметра в столетие.

История развития реактивной техники
Впервые теорией развития ускоренного и замедленного движения занимался Бенедетти (1587г.). Развитие этой теории было дано Галилеем (1596г.), а затем Гюйгенсом (1673г.). Последнему уже был известен принцип действия и противодействия, однако точная его формулировка была дана Ньютоном в 1687г. Ньютон первый высказал идею, что межпланетные путешествия могут быть осуществлены при помощи двигателей прямой реакции или простых ракет, которые сообщают связанному с ним телу движение путем отбрасывания массы, взятой с собой до начала движения.

О
Рисунок из книги Казимира Сименовича

дин из первых рисунков с изображением ракет был опубликован в труде военного инженера и генерала от артиллерии Казимира Сименовича, уроженца Витебского воеводства Речи Посполитой, «Artis Magnae Artilleriae pars prima» (лат. «Великое искусство артиллерии часть первая»), напечатанном в 1650 году в Амстердаме, Нидерланды. На нём - трехступенчатая ракета, в которой третья ступень вложена во вторую, а обе они вместе - в первую ступень. В головной части помещался состав для фейерверка. Ракеты были начинены твёрдым топливом - порохом.Это изобретение интересно тем, что оно более трёхсот лет назад предвосхитило направление, по которому пошла современная ракетная техника.

В 1736 г. Д.Бернули сформулировал теорию реактивного действия водяной струи. Двумя годами позже в своем сочинении "Гидродинамика" он предложил использовать истечение воды из труб для перемещения морских судов.

Вскоре после появления воздушных шаров стали предлагаться проекты установки на них ракетного двигателя. Точно так же появились предложения применить ракетный принцип движения для аппаратов тяжелее воздуха.

В проекте русского революционера Н.И. Кибальчича, написанного им в 1881 г. накануне казни описывается ракетный аппарат, в котором работа двигателя поддрживается сжиганием пороховых зарядов, послдедовательно вводимых в камеру сгорания.

Во Франции первым борцом за идею использования двигателей прямой ракции был Р. Лорэн(с 1907г.) Он выдвинул проекты ракетных самолетов, а также "воздушных торпед", управляемых на расстоянии с помощью электрических механизмов и предназначенных для военных целей и переброски почты. Для увеличения КПД ракетного аппарата Лорэн предложил применить разгон его с помощью электрической катапульты. В качестве горючего ученый предлагал использовать этиловый спирт.

Развитие опытных работ
Первая чисто реактивная турбина, так называемая эолипил - паровая турбина, изобретённая Героном Александрийским, относится к 150 г до н.э. В составе имеет подогреваемый котёл с водой, и шар с загнутыми выводными трубками, вращающийся под действием реактивной тяги выходящего через эти трубки пара.

Ракеты служили средством развлечения в Китае во время народных праздников еще в глубокой древности.

В 13 веке ракеты начали применять на полях сражений преимущественно для создания пожаров в лагерях противника.

В 1420 г. Фонтана дает описания и даже схемы ракетных экипажей, судов и торпед. В XV веке ракеты ракеты становятся еще более популярными.У Солмса (1547г.) находят упоминания о ракете с парашютом, у Нассау(1610г.) - описание подводных ракет.

Первоначально ракеты снабжались длинными древками для придания им устойчивости. Но уже в XVII в. появляются эскизы ракет, снабженных плавниковыми стабилизаторами

Области применения ракет постепенно расширялись. В XVII- XVIII вв. они применялись во время охоты для рассеивания стад зверей. В 1784 г. американец Рамзей сконструировал корабль, движимый струей отбрасываемой воды. Впервые для целей подачи условных сигналов ракета была предложена Бергштедтером (Германия) в 1786г.

В 1806г. французскому пиротехнику К.Рюжжери удалось поднять живого барашка на высоту 200м. Барашек, целый и невредимый, спустился на землю на парашюте.

В качестве боевого оружия ракеты были оценены особенно в XVIII в. Первые специальные войска для метания ракет появились в Индии, затем и в Европе. В 1813г. ракеты были применены в Лейпцигском сражении.Эти ракеты имели вес до 14.5 кг и дальность полета до 2.7 км.

После изобретения нарезного оружия и введении бездымного пороха мощность пушечной артиллерии на много опередила возможности ракет того времени и во второй половине XIX в. ракетные войска были упразднены.

Но развитие реактивной техники было уже не остановить. В 1886г. Бюиссон и Чиурку получили патент на применение ракетного двигателя для летательных аппаратов и морских судов. Этот двигатель состоял из 2-х цилиндров, в которых попеременно сжигалось топливо, продукты сгорания которого выпускались в особый приемник, откуда истекали в атмосферу через специальное отверстие, размеры которого можно было по желанию изменять.

В конце XIX в. Деннис во Франции и Рорман в Германии испытали ракету, оснащенную фотокамерой. В патенте указано,что пуск ракеты должен производиться под известным углом к горизонту, причем ракета несет с собой трос, другой конец которого привязан к установленному на земле барабану. Трос предназначался для возвращения ракеты к месту пуска. Для стабилизации фотоаппарата в определенном положении предусмотрен гироскоп.

Во время Первой мировой войны во Франции проводились испытания ракет с инжекторными насадками, с целью использования их для нужд авиации.

Первые систематические исследования ракет были опубликованы в 1919г. Годдардом. Ученый добился довольно высокого КПД ракетного двигателя (около 64%). В 1935г. жидкостные ракеты Годдарда достигли высоты полета 2.3 км и дальности полета -около 4 км.

Значительных успехов в создании пороховых ракет в Германии добился Тилинг. По его данным высота вертикального подъема разработанных ракет до 8 км, а при стрельбе под углом- до 18 км
Механика тел переменной массы
МЕХАНИКА ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ - раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел, масса которых изменяется во время движения. Основные исследования по механике тел переменной массы принадлежат И. В. Мещерскому и К. Э. Циолковскому. Задачи механики тел переменной массы выдвигаются развитием авиационной и ракетной техники, а также теоретической механики и астрономии.

Термин "переменная масса" употребляется в этом разделе в совершенно ином смысле, чем в теории относительности. В теории относительности масса движущегося тела изменяется за счет изменения его скорости, причем никакого вещества во время движения тело не получает и не теряет. Напротив, в настоящем разделе говорится о медленном движении тел, масса которых меняется за счет потери или приобретения вещества. Например, масса автомобиля для поливки улиц уменьшается за счет вытекающих водяных струй; дождевая капля растет при падении в воздухе, пересыщенном водяными парами; масса ракеты или реактивного самолета уменьшается за счет истечения газов, образующихся при сгорании топлива. В таких случаях говорят о движении тел с переменной массой. Уравнения движения тел с переменной массой не содержат ничего принципиально нового по сравнению с законами Ньютона, а являются их следствиями. Тем не менее они представляют большой интерес, главным образом в связи с ракетной техникой.

Уравнение Мещерского
Иван Всеволодович Мещерский - один из крупнейших механиков конца XIX и начала XX столетий - посвятил свою жизнь созданию основ механики тел переменной массы. Частной задачей механики тела переменной массы является теория движения реактивных аппаратов, в которых изменение массы при движении обусловлено выбрасыванием (истечением) частиц сжигаемого запаса горючего. Ещё в конце XIX в. И. В. Мещерский опубликовал две работы, которые до сих пор остаются наилучшими во всей мировой литературе по реактивным способам движения. Общие его уравнения для точки переменной массы и некоторые частные случаи этих уравнений уже после их опубликования И. В. Мещерским "открывались" в XX в. вновь многими учёными Западной Европы и Америки (Годдар, Оберт, Эсно-Пельтри, Леви-Чивита и др.). Для точного исследования явлений движения тел с изменяющейся массой, доставляемых в большом числе и техникой и природой, требуется прежде всего установление основного уравнения движения точки переменной массы, так как всякое тело переменной массы можно представить как систему точек. Зная уравнение движения точки переменной массы, можно достаточно простыми методами получить основные уравнения движения любого тела. Фундаментальное уравнение динамики тел переменной массы было установлено в магистерской диссертации И. В. Мещерского, опубликованной в 1897 г.

Движущееся тело при изменении массы в общем случае подвергается воздействию реактивной силы, если только относительная скорость отделяющихся частиц не равна нулю. Однако И. В. Мещерский начал разработку вопроса с того частного случая, когда реактивная сила не будет входить в расчёты. Теоретические результаты исследования движения в этом предположении были доложены И. В. Мещерским Петербургскому математическому обществу 15 января 1893 г. При этом из частных задач такого типа им была решена одна задача небесной механики, посвящённая изучению движения двух тел переменной массы. В 1893 г. основные выводы этого исследования были напечатаны в специальном астрономическом журнале.

Вывод уравнения Мещерского:
Рассмотрим движение материальной точки переменной массы. Дифференциальное уравнение движения точки переменной массы можно получить, используя закон независимого действия сил и теорему об изменении количества движения системы. Известно, что действующая на точку сила сообщает ей такое ускорение, которое не зависит от действия других сил. В случае точки переменной массы кроме приложенной к точке силы , действуют силы, вызванные отделением от точки частиц массой d " М.

Считаем, что изменения скорости точки переменной массы от действия силы не зависят друг от друга, или общее изменение скорости
в течение времени dt складывается из изменения скорости
, от действия силы F при постоянной массе точки и изменения скорости
, вызванного изменением массы точки в отсутствие силы . Имеем точку переменной массы M . От действия силы скорость точки постоянной массы изменяется за время dt в соответствии с основным законом динамики точки на величину:

Изменение скорости
за время dt , вызванное изменением массы точки в отсутствие силы, определяют по теореме об изменении количества движения системы постоянной массы. Так как механическая система, состоящая из точки переменной массы и отделившихся от нее частиц, свободна от действия внешних сил, то ее количество движения является постоянной величиной Внутренние силы взаимодействия точки с отделяющимися частицами не изменяют количества движения рассматриваемой системы. Применяя закон сохранения количества движения за промежуток времени от t до dt имеем:

(2)

У
читывая только взаимодействие точки переменной массы с отделившейся от нее частицей массы d " M за время dt и пренебрегая действием на точку и эту частицу ранее отделившихся частиц. Получим:

так как в момент t имеется одна точка массой M (t ), движущаяся со скоростью относительно системы координат Oxyz .

В момент t + dt имеется точка массой M - d " M , скорость которой v + dv 2 , и отделившаяся частица массой d " M , скорость которой u , относительно той же системы координат Oxyz . Количество движения их в момент t + dt

Приравнивая согласно (2) количества движения после сокращения и отбрасывания малого члена второго порядка d " Mdv 2 по сравнению с членами первого порядка, получаем

(3)

при d " M >0, или включая знак минус в dM (тогда dM ), имеем

Общее изменение скорости

Или, учитывая (1) и (3),

После умножения обеих частей этого равенства на массу точки М и деления на dt, получаем следующее дифференциальное уравнение движения точки переменной массы в векторной форме:

Полученное дифференциальное уравнение и есть дифференциальное уравнение Мещерского , полученное им впервые в 1897г.

Если с точкой переменной массы связать подвижную систему координат, движущуюся поступательно относительно осей Oxyz , то абсолютную скорость отделившейся частицы по теореме о сложении скоростей можно представить:

Так как в данном случае
, то относительная скорость отделившейся частицы:

Таким образом, получим выражение:

(4)
Введем обозначение
,тогда выражение примет вид:

Величина
- реактивная сила. Величина
- скорость изменения массы. Она характеризует изменение массы точки за единицу времени, например за секунду. Поэтому реактивная сила равна произведению секундного изменения массы точки на относительную скорость отделения частиц массы от точки переменной массы.

В случае уменьшения массы точки с изменением времени величина является отрицательной, а при возрастании ее массы - положительной. При уменьшении массы точки вследствие отделения о нее частиц реактивная сила направлена в сторону, противоположную относительной скорости отделяющихся частиц , а при увеличении массы точки величина >0 и реактивная сила направлена в сторону относительной скорости частиц

Для реактивного двигателя скорость изменения массы является отрицательной величиной, равной секундному расходу массы, а - скорость вылета газа из сопла двигателя.

Реактивная сила является тягой двигателя, обусловленной выбрасомгаза через сопло. Она направлена противоположно скорости вылета газа из сопла двигателя.

Дифференциальные уравнения движения точки переменной массы превращаются в аналогичные уравнения для точки постоянной массы если величина равна нулю.

Формула Циолковского
К. Э. Циолковского можно назвать отцом космонавтики. Он был первым, кто увидел в ракете средство для покорения человеком космоса. До Циолковского на ракету смотрели как на игрушку для развлечений или как на один из видов оружия. Заслуга К. Э. Циолковского состоит в том, что он теоретически обосновал возможность покорения космоса при помощи ракет, вывел формулу скорости движения ракеты, указал на критерии выбора топлива для ракет, дал первые схематические чертежи космических кораблей, привёл первые расчеты движения ракет в поле тяготения Земли и впервые указал на целесообразность создания на орбитах вокруг Земли промежуточных станций для полётов на другие тела Солнечной системы.

Циолковский занимался механикой управляемого полета, в результате чего им был спроектирован управляемый аэростат (слово «дирижабль» тогда ещё не придумали). Циолковский первым предложил идею цельнометаллического дирижабля и построил его модель. Первым печатным трудом о дирижаблях был «Аэростат металлический управляемый» (1892), в котором дано научное и техническое обоснование конструкции дирижабля с металлической оболочкой. Прогрессивный для своего времени проект дирижабля Циолковского не был поддержан; автору было отказано в субсидии на постройку модели. Обращение Циолковского в Генеральный штаб русской армии также не имело успеха. В 1892 году он обратился к новой и мало изученной области летательных аппаратов тяжелее воздуха. Циолковскому принадлежит идея постройки аэроплана с металлическим каркасом. В статье «Аэроплан или Птицеподобная (авиационная) летательная машина» (1894) даны описание и чертежи моноплана, который по своему внешнему виду и аэродинамической компоновке предвосхищал конструкции самолётов, появившихся через 15-18 лет. В аэроплане Циолковского крылья имеют толстый профиль с округлённой передней кромкой, а фюзеляж - обтекаемую форму. Но работа над аэропланом, так же как над дирижаблем, не получила признания у официальных представителей русской науки. На дальнейшие изыскания Циолковский не имел ни средств, ни даже моральной поддержки.

Основное место в научном творчестве К.Э.Циолковского занимают вопросы ракетодинамики и космонавтики. Наиболее ранние записи К.Э.Циолковского по вопросам межпланетных сообщений относятся к 1878-1879 годам, когда он начал составлять "астрономические чертежи", тогда же им был сконструирован прибор для изучения действия на живой организм ускорения силы тяжести. Первой научной работой, в которой ученый высказал мысль о возможности использования принципа реактивного движения для перемещения в мировом пространстве, была монография "Свободное пространство" (1883г.).

В 1903 году в журнале "Научное обозрение" № 5 К.Э.Циолковский опубликовал работу "Исследование мировых пространств реактивными приборами", в которой впервые была научно обоснована возможность осуществления космических полетов при помощи жидкостных ракет и даны основные расчетные формулы их полета. Константин Эдуардович был первым в истории науки, кто строго сформулировал и исследовал прямолинейное движение ракет как тел переменной массы. В архиве Российской Академии наук сохранился листок, датированный 10 мая 1897 года, на котором была дана формула, впоследствии получившая имя этого великого ученого.
Вывод формулы Циолковского
Пусть точка переменной массы или ракета движется прямолинейно только под действием реактивной силы. Считаем, что относительная скорость отделения частиц постоянна по величине и направлена в сторону противоположную скорости движения точки переменной массы . Тогда проектируя на ось Ox , направленную по скорости движения точки уравнение (4) дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки переменной массы примет вид:

Разделяя переменные и беря интегралы от обеих частей, имеем

Где - начальная скорость, направленная по реактивной силе,
- начальная масса точки

Выполняя интегрирование получим:

(5)
Если в формулу (5) подставить значения величин, характеризующих конец горения, когда масса точки (ракеты) состоит только из массы несгоревшей части (массы приборов и корпуса ракеты) М р , то обозначив m массу топлива, для скорости движения в конце горения получим:

Вводя число Циолковского
получаем следующую формулу Циолковского:

Из формулы Циолковского следует, что скорость в конце горения не зависит от закона горения, т.е. закона изменения массы. Скорость в конце горения можно изменить двумя способами. Одним из этих способов является увеличение относительной скорости отделения частиц или для ракеты увеличение скорости истечения газов из сопла реактивного двигателя.

Современные химические топлива позволяют получать скорости истечения газов из сопла реактивного двигателя порядка 2-2,3 км/сек. Создание фотонного и ионного двигателей позволит значительно увеличить эту скорость. Другой путь увеличения скорости ракеты в конце горения связан с увеличением так называемой массовой или весовой отдачи ракеты, т.е. с увеличением числа Z. В современных многоступенчатых ракетах число Z может быть довольно большим

Реактивные двигатели
Широкое применение реактивные двигатели получили в связи с освоением космического пространства. Применяются они также для метеорологических исследований и используются в военных ракетах различной дальности. Кроме того, все современные скоростные самолеты оснащены воздушно-реактивными двигателями

В космическом пространстве использовать какие-либо другие двигатели, кроме реактивных, невозможно: нет опоры (твёрдой жидкой или газообразной), отталкиваясь от которой космический корабль мог бы получить ускорение. Применение же реактивных двигателей для самолётов и ракет, не выходящих за пределы атмосферы, связано с тем, что именно реактивные двигатели могут обеспечить максимальную скорость полёта.

Реактивные двигатели делятся на два класса: ракетные и воздушно-реактивные. В ракетных двигателях топливо и необходимый для его горения окислитель находятся непосредственно внутри двигателя или в его топливных баках.
На рисунке показана схема ракетного двигателя на твёрдом топливе. Порох или какое-либо другое твёрдое топливо, способное к горению в отсутствие воздуха, помещают внутрь камеры сгорания двигателя.

При горении топлива образуются газы, имеющие очень высокую температуру и оказывающие давление на стенки камеры. Сила давления на переднюю стенку камеры дольше, чем на заднюю, где расположено сопло. Вытекающие через сопло газы не встречают на своём пути стенку, на которую смогли бы оказывать давление. В результате появляется сила, толкающая ракету вперёд.

Суженная часть камеры – сопло служит для увеличения скорости истечения продуктов сгорания, что в свою очередь повышает реактивную силу. Сужение струи газа вызывает увеличение его скорости, так как при этом через меньшее поперечное сечение в единицу времени должна пройти такая же масса газа, что и при большем поперечном сечении

Применяются также ракетные двигатели, работающие на жидком топливе.

В жидкостно-реактивных двигателях (ЖРД) в качестве горючего можно использовать керосин, бензин, спирт, анилин, жидкий водород и др., а в качестве окислителя, необходимого для горения, – жидкий кислород, азотную кислоту, жидкий фтор, пероксид водорода и др. Горючее и окислитель хранятся отдельно в специальных баках и с помощью насосов подаются в камеру, где при сгорании топлива развивается температура до 3000 С и давление до 50 атм. В остальном двигатель работает также, как и двигатель на твёрдом топливе.

Жидкостно-реактивные двигатели используются для запуска космических кораблей.

В
оздушно-реактивные двигатели в настоящее время применяют главным образом на самолётах. Основное их отличие от ракетных двигателей состоит в том, что окислителем для горения топлива служит кислород воздуха, поступающего внутрь двигателя из атмосферы.

В
Схема турбореактивного двигателя:

1 – воздух; 2 – компрессор; 3 – газовая турбина; 4 – сопло; 5 – горячие газы; 6 – камера сгорания; 7 – жидкое топливо; 8 – форсунки
носовой части двигателя расположен компрессор, засасывающий и сжимающий воздух, который затем поступает в камеру сгорания. Жидкое горючее (обычно используется керосин) подаётся в камеру сгорания с помощью специальных форсунок. Раскалённые газы (продукты сгорания), выходя через сопло, вращают газовую турбину, приводящую в движение компрессор. Турбокомпрессорные двигатели установлены в наших лайнерах Ту-134, Ил-62, Ил-86 и др.

Используя в качестве окислителя окружающий воздух, воздушно-реактивные двигатели обеспечивают существенно большую топливную экономичность, чем ракетные двигатели, так как на борту самолёта необходимо иметь только горючее. В то же время возможность осуществления рабочего процесса с использованием окружающего воздуха ограничивает область использования воздушно-реактивных двигателей атмосферой.

Основное преимущество ракетного двигателя перед воздушно- реактивным двигателем состоит в его способности работать при любых скоростях и высотах полёта (тяга ракетного двигателя не зависит от скорости полёта и возрастает с высотой). В некоторых случаях применяются комбинированные двигатели, сочетающие в себе признаки ракетных и воздушно-реактивных двигателей. В комбинированных двигателях для улучшения экономичности воздух используется на начальном этапе разгона с переходом на ракетный режим на больших высотах полёта.
Заключение
С выходом человека в космос не только открылись возможности исследования других планет, но и представились поистине фантастические возможности изучения природных явлений и ресурсов Земли, о которых можно было только мечтать. Возникло космическое природоведение. Раньше общая карта Земли составлялась по крупицам, как мозаичное панно. Теперь снимки с орбиты, охватывающие миллионы квадратных километров, позволяют выбирать для исследования наиболее интересные участки земной поверхности, экономя тем самым силы и средства.

Из космоса лучше различаются крупные геологические структуры: плиты, глубинные разломы земной коры – места наиболее вероятного залегания полезных ископаемых. Из космоса удалось обнаружить новый тип геологических образований – кольцевые структуры, подобные кратерам Луны и Марса.

Сейчас на орбитальных комплексах разработаны технологии получения материалов, которые нельзя изготовить на Земле, а только в состоянии длительной невесомости в космосе. Стоимость таких материалов (сверхчистые монокристаллы и др.) близка к затратам на запуск космических аппаратов.

Список литературы:
В.В. Добронравов, Н. Н. Никитин, А.Л. Дворников "Курс теоретической механики", 1974г.
А.А. Штернфельд "Введение в космонавтику",изд. "Наука", 1974г.

О И. В. Мещерском: Николаи Е. Л., Некролог, "Прикладная математика и механика", М.-Л., 1936, т. III, вып. 1.
Мещерский И. В., Работы по механике тел переменной массы, 2 изд., М., 1952;
Л.В. Голованов. Формула Циолковского, журнал «Земля и Вселенная» 2002г. №2
Циолковский К. Э., Собр. соч., т. 2, М., 1954;
«Авиация: Энциклопедия». М.: Большая Российская энциклопедия, 1994

Д. ф.-м. н. Б.Л.Воронов

Задача 1. Однородная неупругая цепь длиной L и массой М перекинута через блок. Часть цепи лежит на столе высотой h, а часть на полу. Найти скорость равномерного движения звеньев цепи (рис. 1).

Задача 2. Однородная нерастяжимая цепь подвешена на нити так, что нижний конец ее касается крышки стола. Нить пережигают. Найти силу давления цепочки на стол в тот момент, когда над ним находится часть цепи длиной h. Масса цепи – М, ее длина – L, удар каждого звена считать абсолютно неупругим (рис. 2).

Задача 3. С какой силой давит на землю кобра, когда она, готовясь к прыжку, поднимается вертикально вверх с постоянной скоростью v (рис. 3)? Масса змеи – M, ее длина – L.

Начнем с хорошо известной ситуации. Пусть тело можно считать материальной точкой (например, можно пренебречь его структурой и размерами или вести речь только о центре масс тела) либо все части протяженного тела имеют одну и ту же скорость v. Тогда 2-й закон Ньютона, в теоретической механике чаще говорят – уравнения движения, для такого тела имеет вид:

где m – неизменная масса тела, F – действующая на тело внешняя сила. В общем случае протяженных тел отдельные части тела движутся каждая со своей скоростью, и описание движения всех частей с учетом их взаимодействия резко усложняется.

Однако бывают случаи, когда движение некоторых частей составного тела можно описать сравнительно просто. Одним из таких случаев является случай движения тел переменной массы. Пусть имеется составная система и пусть в ней можно выделить некоторую часть, подсистему, движущуюся со скоростью v, причем состав ее меняется определенным образом. Будем называть эту подсистему телом переменной массы, если выполнены следующие условия. В каждый момент времени можно считать, что это тело либо является материальной точкой, либо все его части имеют одинаковую скорость v. С течением времени от тела непрерывно отделяются некоторые (бесконечно) малые его части, причем каждая со своей независимой скоростью v"; либо, наоборот, к телу непрерывно добавляются новые малые части, которые до «прилипания» имели свою скорость v" (возможно и то и другое). Таким образом, при движении тела меняется не только его скорость v = v(t), но и масса m = m(t), причем известна скорость изменения массы

2-й закон Ньютона для тел переменной массы имеет вид:

где F – суммарная внешняя сила, которая действует в данный момент времени как на тело (переменной массы m), так и на его отделяющиеся или добавляющиеся части (массы –dm или dm соответственно). Эту тонкость надо постоянно иметь в виду. Может случиться, что вся внешняя сила или конечная ее составляющая приложена именно к этим частям: под действием конечной внешней силы (бесконечно) малая масса (–dm или dm) за (бесконечно) малый промежуток времени t  t + dt меняет свою скорость на конечную величину, от v до v" или от v" до v, испытывая (бесконечно) большое ускорение. Именно этот случай реализуется в приводимых ниже задачах. Конечно, может случиться, что изменение скорости отделяющихся или добавляющихся частей обеспечивается внутренними силами. Так обстоит дело, например, в случае космической ракеты или снежной лавины.

2-й закон Ньютона для тел переменной массы можно переписать в эквивалентной форме (особенно удобной во втором случае):

Отличие от привычного случая постоянной массы состоит в том, что m = m(t) является теперь известной функцией времени, а к внешней силе F добавляется реактивная сила

Дадим вывод 2-го закона Ньютона для тел переменной массы (при первом чтении этот абзац можно пропустить). Он следует из 2-го закона Ньютона для любой, в том числе составной системы, в следующей общей форме:

т.е. приращение dp полного импульса p системы за интервал времени t  t + dt равно импульсу Fdt действующей на систему внешней силы F. Системой в рассматриваемом интервале времени t  t + dt является тело переменной массы вместе с отделяющимися или добавляющимися частями. В любом случае (

dp = p(t + dt) – p(t) = (m + dm)(v + dv) – dmv" – mv.

Вывод этой формулы предоставляем читателю в качестве упражнения. Укажем лишь, что первое слагаемое справа относится ко времени t + dt, третье слагаемое – ко времени t, а второе слагаемое (–dmv") относится к моменту t + dt в случае отделяющихся частей (массой –dm > 0,

dp = mdv – dm (v" – v) + dmdv = mdv – dmu + dmdv

и приравнивая ее Fdt, имеем:

Деля обе части последнего равенства на dt, переходя к переделу dt  0 и отбрасывая стремящееся к нулю слагаемое

Из вывода следует указанное выше содержание понятия внешней силы F.

Теперь перейдем к решению задач.

Задача 1.Возьмем в качестве тела переменной массы лежащий на столе участок цепи. Цепь считается нерастяжимой, толщина цепи – пренебрежимо малой, поэтому можно считать, что весь этот участок занимает пренебрежимо малый объем (сосредоточен в точке) в основании левого вертикального участка цепи. Движение носит одномерный характер, вдоль вертикальной оси y (начало отсчета на полу), поэтому достаточно рассматривать только y-компоненту 2-го закона Ньютона (значок «y» для у-компонент векторов v, u, F в дальнейшем опускаем):

(прочие компоненты уравнений движения имеют вид 0 = 0). Именно это уравнение должно определить скорость равномерного движения вертикальных звеньев цепи, поскольку они отделяются от нашего тела.

В каждый момент времени все звенья рассматриваемого участка свободно, без натяжения, лежат на столе, v = 0, соответственно

соответственно

Остается определить вертикальную компоненту F внешней силы F. Она равна натяжению Th левой вертикальной части цепи на нижнем ее конце, находящемся на высоте y = h. Приложена эта сила к отделяющемуся от тела первому сверху звену, тогда как все звенья тела лежат свободно (см. выше о внешней силе F). Th в свою очередь определяется условиями движения вертикальных участков цепи. Если они движутся равномерно, как это и принимается в условии задачи, и, кроме того, цепь справа ложится на пол свободно, т.е. натяжение T0 правого вертикального участка на нижнем его конце, у пола, на высоте y = 0, равно нулю (T0 = 0), то Th равно разности веса Pправ правого участка и веса Pлев левого вертикального участков цепи: Th = Pправ – Pлев.

Если масса тела переменна, например в задаче о ракете, выбрасывающей часть массы в виде продуктов сгорания, то уравнение (2.12) использовать нельзя. Это уравнение относится к некоторому одному телу определенной массы. В случае же взлета ракеты (рис. 2.18) масса ракеты все время уменьшается, так как выбрасываются газы и в каждый данный момент надо рассматривать систему тел ракета - газы. Уравнение (2.12) следует заменить более общим уравнением (2.13), пригодным и для системы тел:

где R - равнодействующая всех внешних сил, действующих на систему извне, a dp - общее изменение импульса системы за время dt. Роль R играет в нашем случае сила тяжести F = mg (а при учете трения о воздух - и н).

Общий импульс всей системы р складывается из импульса ракеты и импульса газов р = р рак + р г, так что

За время dt импульс ракеты изменится на dp paK =(т - dm) dv ~ « т dv. Член второго порядка малости отбрасывается. Импульс выброшенных за время dt газов будет dp r = (pdt)u, где р - секундный расход топлива, а и - скорость истечения продуктов сгорания. Тогда (2.25) можно записать в виде

Это уравнение носит название уравнения Мещерского.

Нужно обратить особое внимание на знаки скоростей и сил. Выберем положительное направление оси х вверх (рис. 2.18, а). Рассмотрим взлет ракеты. Величины Р гяж и и надо взять с минусом, а скорость ракеты v и приращение этой скорости dv - с плюсом. Если использовать арифметические значения, то надо написать:

Заметим, что при jiu mg приращение dv будет равно или меньше нуля и ракета не взлетит.

При посадке ракеты надо уменьшать ее скорость так, чтобы в момент соприкасания с грунтом она была близка к нулю. Для этого ракета должна садиться «кормой вперед» и выбрасывать газы так, чтобы замедлять падение (рис. 2.18, б). При этом при выбранном направлении оси х скорость v dv > 0.

Выразим из последнего уравнения dv и возьмем интеграл. Для этого приведем в правой части все переменные к одной переменной ттг, используя dm = - р dt:

где т 0 и тп к - начальная и конечная массы ракеты, а и 0.

Это и дало основание Циолковскому использовать приближенную формулу

которая получила название формулы Циолковского (взято абсолютное значение и).

Пример 1. Ракета массой 300 т содержит 299 т горючего и 1 т полезного груза. Расход топлива ji = 10 3 кг/с, скорость истечения газов 4 км/с (постановка задачи сильно упрощена, не учитывается масса топливных баков и двигателей, кроме того, обычно ракеты делаются многоступенчатыми).

Найдем из (2.28) конечную скорость ракеты г? к:

Второе слагаемое в нашем примере приблизительно в 10 раз меньше первого.

Пример 2. Пусть ракета массой 300 т стартует с Земли. Найдем, через какое время она достигнет высоты 40 км, если каждую секунду будет выбрасывать 1000 кг продуктов сгорания со скоростью и = 4 км/с.

При решении этой задачи на движение тела переменной массы будем использовать формулу (2.26). Полученное дифференциальное уравнение легко решается аналитически (т. е. находятся формулы для v(t) и x(t)) только в том случае, если не учитывать трение и другие обстоятельства, например уменьшение силы тяжести с высотой. Приведем пример компьютерной программы, которая легко и просто справляется с любыми сложностями. Составляя программу, запишем приращение (убывание) массы за время dt:

приращение скорости

приращение пути

приращение времени

Учтем в программе зависимость силы тяготения от высоты. Программа составляется по следующему алгоритму:

1. Ввод известных параметров (постоянная тяготения, радиус Земли И др.):

• 2. Ввод начальных условий (t> = 0, т = ЗЕ5, t = 0).
• 3. Ввод шага по времени At.
• 4. Цикл наращивания переменных по уравнениям (2.29) - (2.31). В цикле должно быть предусмотрено условие окончания, например: «Если достигнута высота 10 км, то...».

Программа на простейшей версии Бейсика:

Print «Старт ракеты»

тЗ=5.96е24: г3=6.37е6: да=6.67е-11: и=~4еЗ

ти=1еЗ: h=4e4: тг=3е5

v=0: х=0

Print «Ждите!»

For t=0 to le4 Step dt

r=r3+x: mr-mr-mu^dt f=-ga*mr*m3/(r*r) v=v+(f-mu*u)*dt/mr: x=x+v*dt If x>=h then Goto 1

1:Print t

В пакете программ ПАКПРО это программа Perem_mStartr.bas.

При расчете по этой программе ответ получается очень скоро. Например, при подъеме до высоты 4 км v = 846 м/с, тпг = 182 т (т. е. будет израсходовано 118 т топлива), t = 118 с.

Можно использовать эту программу для получения дополнительной информации:

• - измените программу так, чтобы выяснить, на какой высоте масса ракеты приблизится к нулю (все горючее будет израсходовано);
• - измените в программе значение и. При какой скорости истечения газов ракета вообще не сможет подняться?
• - Постройте на одном графике (разными цветами или оттенками) кривые x(t), v(t) и mr(t).

В приведенном выше решении не было учтено трение об атмосферу; добавьте в программу силу трения FI = - Av, где А положите равным 10 Н*с/м. Еще лучше, если будет учтено, что трение зависит от плотности воздуха, т. е. что А зависит от давления А - А 0 р, где р - давление в Па, которое, в свою очередь, зависит от высоты по барометрической формуле:

Давление на уровне моря р 0 = 10 5 Н/м 2 .

В этом решении еще не было учтено вращение Земли и возникающая вследствие этого в системе, скрепленной с вращающейся Землей, сила Кориолиса (см. раздел 6 главы 2). При расчетах более длительного полета на большую высоту траекторию уже нельзя считать прямолинейной. Движение становится неодномерным. Попробуйте получить решение и в этом случае.

Пример 3. При появлении первых компьютеров очень популярной была задача о посадке на Луну. Эта задача имеет много вариантов разной сложности. Рассмотрим простейший.

Пусть лунный модуль массой 1 т приближается к Луне со скоростью 1 км/с с расстояния 50 км по прямой, соединяющей их центры.

На модуле есть топливо, продукты сгорания которого двигатель выбрасывает со скоростью и = 4 км/с. Как следует управлять расходом топлива (в кг/с), чтобы обеспечить мягкую посадку? (При сближении с поверхностью Луны скорость должна быть близка к нулю.)

Задача похожа на предыдущую, но нужно внимательно проследить за знаком скорости лунного модуля, а также за знаком скорости выбрасываемых продуктов сгорания (так, чтобы замедлять падение, а не ускорять его!).

Решение задачи зависит от желаемого режима посадки (движение равнозамедленное, неравнозамедленное, с минимальным расходом топлива, минимальным временем посадки и т. д.). Потребуем, например, чтобы перегрузки, испытываемые космонавтами или оборудованием, были постоянными в течение всего времени посадки, что возможно при равнозамедленном движении. Выберем ось х, направленную от ракеты к центру Луны (см. рис. 2.18). Пусть в начальный момент времени х = 0. Тогда скорость ракеты v и скорость газов - положительные величины. Для торможения реактивная струя направляется в сторону Луны. Ускорение а найдем из уравнения v 0 2 = -2aL . В нашем случае а = - 10 6 /(2*5* 10 4) = = - 10 м/с 2 , а скорость в любой момент времени равна: v = v 0 + at, так что Av = aAt. Сила притяжения к Луне будет равна: F = gmra L /(RL + L - х). Требуемый секундный расход топлива ц найдем из уравнения Мещерского:

(F >0; а 0; и > 0). Будем наращивать время малыми промежутками At и вычислять каждый раз F, }